Problemas de Cálculo

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6. **Problema**: Determine a área da região entre as curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 1 \) de 
\( x = 0 \) a \( x = 2 \). 
 - **Resolução**: A área é \( \int_{0}^{2} ((2x - 1) - x^2) \, dx = \frac{7}{3} \). 
 
7. **Problema**: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \). 
 - **Resolução**: Usando a definição de limite, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 \). 
 
8. **Problema**: Encontre a derivada da função inversa de \( y = x^3 + x \). 
 - **Resolução**: A derivada da função inversa é \( \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \), onde \( f'(x) = 
3x^2 + 1 \). 
 
9. **Problema**: Calcule \( \int \frac{1}{x(x+1)} \, dx \). 
 - **Resolução**: Decompondo em frações parciais, obtemos \( \int \frac{1}{x(x+1)} \, dx = 
\ln \left| \frac{x}{x+1} \right| + C \). 
 
10. **Problema**: Determine \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{5x} \). 
 - **Resolução**: Usando a forma de limite de potência, \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + 
\frac{3}{x} \right)^{5x} = e^{15} \). 
 
11. **Problema**: Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = 
\sqrt{x} \) em torno do eixo \( x \) de \( x = 0 \) a \( x = 4 \). 
 - **Resolução**: A área é \( \int_{0}^{4} 2\pi y \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx = 
\frac{16\pi}{3} \). 
 
12. **Problema**: Calcule \( \int \cos^2 x \, dx \). 
 - **Resolução**: Usando a identidade \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \), temos \( \int 
\cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \). 
 
13. **Problema**: Determine \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) 
= \frac{1}{2} \). 
 
14. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx \). 
 - **Resolução**: Integrando por partes, \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi \). 
 
15. **Problema**: Calcule \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
16. **Problema**: Determine a área da região delimitada por \( y = e^x \), \( y = \ln x \), \( x 
= 1 \) e \( x = 2 \). 
 - **Resolução**: A área é \( \int_{1}^{2} (e^x - \ln x) \, dx = e^2 - e - 1 \). 
 
17. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} \). 
 - **Resolução**: Aplicando limites fundamentais, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 2x} = 
\frac{3}{2} \). 
 
18. **Problema**: Calcule a derivada de \( y = \ln(\sin x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( \frac{\cos x}{\sin x} \). 
 
19. **Problema**: Determine \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 - x^2 \), a integral é \( \frac{\pi}{4} \). 
 
20. **Problema**: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) 
= \frac{1}{2} \). 
 
21. **Problema**: Encontre \( \int \cos^2 x \, dx \). 
 - **Resolução**: Usando a identidade \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \), temos \( \int 
\cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \). 
 
22. **Problema**: Determine \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right) 
= \frac{1}{2} \). 
 
23. **Problema**: Encontre \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx \). 
 - **Resolução**: Integrando por partes, \( \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi \).