Problemas de Cálculo

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346. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{4x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( e^{12} \). Utilize a definição de limite 
exponencial. 
 
347. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_1^{\cos(x)} \frac{\sin(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-
\sin(x)) \). 
 
348. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
349. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 2. Utilize a série de Taylor para \( e^{2x} \). 
 
350. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \int_{\cos(x)}^{x^3} \frac{\cos(t)}{t} \, dt 
\). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{\cos(x^3)}{x^3} \cdot 3x - 
\frac{\cos(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). 
 
351. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
352. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{4x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( e^{12} \). Utilize a definição de limite 
exponencial. 
 
353. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_1^{\cos(x)} \frac{\sin(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-
\sin(x)) \). 
 
354. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
355. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 3. Utilize a série de Taylor para \( e^{3x} 
 
 \). 
 
356. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \int_{\cos(x)}^{x^3} \frac{\cos(t)}{t} \, dt 
\). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{\cos(x^3)}{x^3} \cdot 3x - 
\frac{\cos(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). 
 
357. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
358. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{4x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( e^{12} \). Utilize a definição de limite 
exponencial. 
 
359. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_1^{\cos(x)} \frac{\sin(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-
\sin(x)) \). 
 
360. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
361. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 2. Utilize a série de Taylor para \( e^{2x} \). 
 
362. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \int_{\cos(x)}^{x^3} \frac{\cos(t)}{t} \, dt 
\).