Problemas de Cálculo

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- **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x 
\right) = \frac{3}{2} \). 
 
19. **Problema**: Calcule a derivada de \( y = \ln(\cos x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( -\tan x \). 
 
20. **Problema**: Determine \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 + x^2 \), a integral é \( \sqrt{1 + x^2} + C \). 
 
21. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} \). 
 - **Resolução**: Aplicando limites fundamentais, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = 
\frac{3}{2} \). 
 
22. **Problema**: Determine a área da região delimitada por \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^3 \) 
entre \( x = 0 \) and \( x = 1 \). 
 - **Resolução**: A área é \( \int_{0}^{1} (x^3 - \sqrt{x}) \, dx = \frac{2}{5} \). 
 
23. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x 
\right) = \frac{3}{2} \). 
 
24. **Problema**: Calcule a derivada de \( y = \ln(\cos x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( -\tan x \). 
 
25. **Problema**: Determine \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 + x^2 \), a integral é \( \sqrt{1 + x^2} + C \). 
 
26. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} \). 
 - **Resolução**: Aplicando limites fundamentais, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = 
\frac{3}{2} \). 
 
27. **Problema**: Determine a área da região delimitada por \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^3 \) 
entre \( x 
 
 = 0 \) and \( x = 1 \). 
 - **Resolução**: A área é \( \int_{0}^{1} (x^3 - \sqrt{x}) \, dx = \frac{2}{5} \). 
 
28. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x 
\right) = \frac{3}{2} \). 
 
29. **Problema**: Calcule a derivada de \( y = \ln(\cos x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( -\tan x \). 
 
30. **Problema**: Determine \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 + x^2 \), a integral é \( \sqrt{1 + x^2} + C \). 
 
31. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} \). 
 - **Resolução**: Aplicando limites fundamentais, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = 
\frac{3}{2} \). 
 
32. **Problema**: Determine a área da região delimitada por \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^3 \) 
entre \( x = 0 \) and \( x = 1 \). 
 - **Resolução**: A área é \( \int_{0}^{1} (x^3 - \sqrt{x}) \, dx = \frac{2}{5} \). 
 
33. **Problema**: Encontre \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right) \). 
 - **Resolução**: Simplificando, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x 
\right) = \frac{3}{2} \). 
 
34. **Problema**: Calcule a derivada de \( y = \ln(\cos x) \). 
 - **Resolução**: A derivada é \( -\tan x \). 
 
35. **Problema**: Determine \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução**: Substituindo \( u = 1 + x^2 \), a integral é \( \sqrt{1 + x^2} + C \).