Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário cálculo

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Willames Eliakim dos San…
Conteúdo do exercício
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário
Pergunta 1
Considere o exemplo a seguir da aplicação do teorema da divergência. Dado F ( )x ,y , z = zi + yj + xk , integre sobre a esfera unitária x 2+ y 2+ z 2 = 1 . O 
divergente de F é ∇ · F =
∂ ( )z
∂x
+
∂ ( )y
∂y
+
∂ ( )z
∂z
= 1 , integrando sobre ∫ ∫ ∫
x 2 +y 2 + z 2 ≤ 1
dV que é o próprio volume da esfera, resultando em 
∬
s
F · dS =
4π
3
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, pode-se dizer que o cálculo da integral foi facilitado porque:
a superfície S é fechada.
o lado direito é uma integral tripla de um campo vetorial.
Concluído
Nota final Enviado em: 12/10/22 10:51 (BRT)
Resposta corretao integrando ∇ · F é mais simples de integrar. 
a superfície S é orientada para fora.
só é possível resolver o lado direito do teorema da divergência.
Pergunta 2
Os teoremas de Green, Stokes e Gauss são extremamente relevantes para o Cálculo Vetorial. Eles possibilitam o trabalho com integrais seja mais simples, em 
vez de se realizar o trabalho direto com integrais de superfícies e curvas. Entender o que enunciam esses teoremas é fundamental para o aperfeiçoamento das 
habilidades técnicas em Cálculo Vetorial.
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre uma região R.
II. ( ) O Teorema de Green possibilita o cálculo da integral através do gradiente de uma função.
III. ( ) O Teorema de Gauss relaciona uma integral de superfície com uma integral tripla de um sólido.
IV. ( ) O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha com uma integral de superfície.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, F.
F, F, V, V.
Resposta corretaV, F, V, V.
V, V, F, F.
V, F, F, V.
Pergunta 3
Os teoremas de Green, Gauss e Stokes podem ser considerados facilitadores algébricos, uma vez que transformam integrais complexas, tais como superfícies 
e linha, em integrais de regiões, sólidos e afins. A manipulação dessas integrais é muito menos complexa do que as outras. Porém, é necessário conhecer 
cada um dos elementos desses teoremas, pois eles são definidos em espaços geométricos e contextos vetoriais diferentes. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as afirmativas a seguir
I. O teorema de Green pode ser escrito de uma forma que envolve o rotacional
II O teorema de Green pode ser escrito de uma forma que envolve o divergente
III. O Teorema de Gauss trabalha com superfícies não orientadas.
IV. A regra da mão direita é uma regra auxiliadora do Teorema de Stokes
Está correto apenas o que se afirma em:
I e IV.
I e II.
I e III.
II e IV.
Resposta corretaI, II e IV.
Pergunta 4
As funções parametrizadas são extremamente importantes para o cálculo integral, até dentro do contexto vetorial. Elas conseguem representar expressões 
algébricas que muitas vezes não são funções comuns, tornando possível o trabalho com integrais e derivadas. Segue um exemplo de função parametrizada:
r ( )t = cos ( )t i + sen ( )t j + k
A derivada de uma função paramétrica, por exemplo, pode auxiliar a definir o trabalho de uma partícula ao longo de um campo vetorial, pois se trata de um 
vetor tangente. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cálculo vetorial, dado o exemplo supracitado, pode-se dizer que o vetor tangente dessa função 
é r ‵ ( )t = − sen ( )t i + cos ( )t j , porque:
∂cos ( )t i ∂tj ∂sen ( )t k
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma: 
∂cos ( )t i
∂t
+
∂sen ( )t j
∂t
 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma: 
∂sen ( )t i
∂t
+
∂cos ( )t j
∂t
+
∂tk
∂t
 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma: 
∂cos ( )t i
∂t
+
∂tk
∂t
 
Resposta corretao vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma: 
∂cos ( )t i
∂t
+
∂sen ( )t j
∂t
+
∂k
∂t
 
Pergunta 5
Um campo conservativo (F) é definido com base na existência de uma função escalar f que pode ter seu gradiente calculado. Em outras palavras, define-se um 
campo conservativo F da seguinte forma:
F ( )x ,y = ∇ f ( )x ,y
Portanto, pode-se dizer que uma função f(x,y)=xy pode gerar um campo conservativo F, porque:
é possível calcular o campo gradiente dessa função, e seu resultado é (x,y)
é possível calcular o campo divergente dessa função, e seu resultado é (x,y)
Resposta corretaé possível calcular o campo gradiente dessa função, e seu resultado é (y,x)
é possível calcular o campo divergente dessa função, e seu resultado é (y,x)
é possível calcular o campo rotacional dessa função, e seu resultado é (y,x)
Pergunta 6
Ao aplicar o teorema da divergência, é necessário resolver uma integral tripla. Para resolver uma integral tripla, trata-se de fazer três integrais por vez, cujas 
variáveis são dependentes uma das outras. Para tal, é necessário entender bem a região de integração para escrever os limites de integração. Fora isso, as 
variáveis que não estão sendo integradas são consideradas constantes.
Considerando essas informações e os estudos sobre divergente, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial F ( )x ,y , z = xi + yj + zk , a integral ∬
s
F · dS = 3π onde S é definido pela superfície do cilindro x 2+ y 2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 . 
II. ( ) Dado o campo vetorial F ( )x ,y , z = xi + yj + zk , a integral ∬
S
F · dS =
4
3
π onde S é a esfera unitária x 2+ y 2+ z 2 ≤ 1 .
III. ( ) Dado o campo vetorial F ( )x ,y , z = 3xi + xyj + 2xzk , a integral ∬
S
F · dS =
9
4
 onde S é o cubo definido pelos planos x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 1 , 
z = 0, z = 1 . 
IV. ( ) Dado o campo vetorial F ( )x ,y , z = xy 2i + yz 2j + x 2zk , a integral ∬
S
F · dS =
128
5
π onde S é x 2+ y 2+ z 2 ≤ 4 .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, F, F.
V, F, F, V.
Resposta corretaV, F, V, V.
F, F, V, F.
F, F, V, V.
Pergunta 7
Uma das integrais de linhas mais importantes no Cálculo Vetorial é a integral de linha do trabalho (W) de uma partícula que se desloca ao longo de um campo 
vetorial (F). Essa integral é definida da seguinte forma:
W = ∫
c
F · dr = ∫
a
b
F ( )x ( )t ,y ( )t , z ( )t · r l ( )t dt .
Existem, porém, inúmeras outras formas de se escrever essa integral, que podem variar conforma o contexto algébrico em que forem calculadas as integrais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a integral de linha do trabalho, analise as afirmativas a seguir.
I. W = ∫
c
Mdx + Ndy é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
II. W = ∫
c
F · dt é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
III. W = ∫
c
F · dA é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
IV. W = ∫
c
Mdx + Ndy + Pdz é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e IV.
II e IV.
I e III.
Resposta corretaI e IV.
I e II.
Pergunta 8
O teorema de Stokes pode ser dito que é uma versão de uma dimensão maior que o de Green. Lembrando que ambos relacionam uma integral de caminho 
com uma integral sobre uma superfície. Porém, eles não o fazem da mesma maneira.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, pode-se dizer que o teorema de Green e de Stokes são diferentes porque:
o integrando da integral sobre a mesma superfície é diferente em cada um dos teoremas.
as superfícies de integração possuem orientações diferentes.
o teorema de Stokes é usado para campos escalares e o de Green campos vetoriais.
o teorema de Green usa o operador rotacional e de Stokeso operador divergente.
Resposta corretaa superfície do teorema de Stokes é uma superfície cuja projeção no plano do caminho é a superfície do teorema de Green.
Pergunta 9
O teorema da divergência ∬
s
F · dS = ∫ ∫ ∫
v
∇ · FdV substitui a avaliação da integral de uma superfície com a integral sobre o volume englobado pela 
superfície fechada. É necessário fazer a operação com cautela para não ter um resultado que não represente a soma desejada.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, ordene as etapas a seguir de acordo com a sequência em que devem 
ser efetuados os passos para a utilização do teorema:
( ) Aplicar o operador divergente ao campo vetorial F.
( ) Definir o elemento de volume no sistema de coordenadas apropriados.
( ) Integrar sobre o volume V.
( ) Avaliar se a superfície S e o campo vetorial F satisfazem os requisitos do teorema.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Resposta correta2, 3, 4, 1.
3, 4, 1, 2.
2, 1, 3, 4.
4, 3, 1, 2.
Pergunta 10
Em um contexto com variáveis reais definidas em domínios e imagens de pontos, o cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como 
integrais. Já em um contexto vetorial, o cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais de linha.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se afirmar que as integrais referentes ao teorema fundamental do 
cálculo e as integrais de linhas, apesar de distintas, se relacionam porque:
ambas são definidas no mesmo contexto, em um cenário onde domínio e contradomínio representam conjuntos de pontos.
as integrais de linha possuem integrandos que não são vetores.
ambas conseguem tratar do mesmo objeto matemático sem que haja perda de informações.
as integrais triplas conseguem definir qualquer tipo de objeto matemático.
Resposta corretaas integrais do contexto vetorial podem ser escritas como integrais duplas e triplas, referentes ao outro contexto integrativo.