Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(24x)}{\sin(25x)} \). A) \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(24x)}{\sin(25x)} = \frac{24}{25} \). B) \( \lim_{x \to 0...

Para resolver essa questão, podemos utilizar propriedades trigonométricas e regras de limite. Vamos analisar a expressão \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(24x)}{\sin(25x)} \): Ao analisar a expressão, podemos observar que a tangente de um ângulo é igual a seno sobre cosseno. Portanto, podemos reescrever a expressão da seguinte forma: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(24x)}{\sin(25x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(24x)}{\cos(24x)}}{\sin(25x)} \). Simplificando a expressão, obtemos: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(24x)}{\sin(25x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(24x)}{\cos(24x) \cdot \sin(25x)} \). Agora, podemos utilizar a propriedade trigonométrica \( \sin(a) \cdot \sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)] \) para simplificar ainda mais a expressão. Após simplificar, chegamos a: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(24x)}{\sin(25x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(24x)}{\frac{1}{2}[\cos(-x) - \cos(49x)]} \). Finalmente, ao substituir \( x = 0 \) na expressão simplificada, obtemos o resultado do limite. Analisando as opções fornecidas: A) \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(24x)}{\sin(25x)} = \frac{24}{25} \) - Esta opção não está correta. B) \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(24x)}{\sin(25x)} = \frac{25}{24} \) - Esta opção não está correta. C) \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(24x)}{\sin(25x)} = \frac{1}{24} \) - Esta opção não está correta. Portanto, nenhuma das opções fornecidas está correta.