Calcule o limite da função \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(8x)}{\sin(9x)} \). Utilize expansões de série de Taylor para calcular o limite. a) \( \frac...

Para calcular o limite da função \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(8x)}{\sin(9x)} \) utilizando expansões de série de Taylor, podemos fazer o seguinte: 1. Sabemos que a expansão de Taylor de \( \tan(x) \) é \( x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \ldots \) e a expansão de Taylor de \( \sin(x) \) é \( x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 + \ldots \). 2. Substituindo essas expansões na expressão do limite, obtemos: \( \lim_{x \to 0} \frac{(8x + \frac{1}{3}(8x)^3 + \frac{2}{15}(8x)^5 + \ldots)}{(9x - \frac{1}{6}(9x)^3 + \frac{1}{120}(9x)^5 + \ldots)} \). 3. Simplificando a expressão, obtemos: \( \lim_{x \to 0} \frac{8x + \frac{512}{3}x^3 + \ldots}{9x - \frac{729}{6}x^3 + \ldots} \). 4. Ao calcular o limite, percebemos que os termos de ordem superior a x não influenciam no resultado, pois estamos avaliando o limite quando x se aproxima de 0. Portanto, o resultado do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(8x)}{\sin(9x)} \) é \( \frac{8}{9} \). Assim, a alternativa correta é: a) \( \frac{8}{9} \).