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- **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente e a derivada de funções 
trigonométricas. 
 
12. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \ln(1 + x)}{x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \ln(1 + x)}{x} = 1 \). 
 - **Explicação:** Usamos a expansão de Taylor de \( e^x \) e \( \ln(1 + x) \) para resolver o 
limite. 
 
13. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{1}{x^3} \, dx = -\frac{1}{2x^2} + C \). 
 - **Explicação:** Esta é uma integral simples de \( x^{-3} \). 
 
14. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x}} \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2x\sqrt{x} - \frac{1}{2}(x^2 + 1)}{2x^{3/2}} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente e a derivada da raiz quadrada. 
 
15. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x^3} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x^3} = \frac{1}{3} \). 
 - **Explicação:** Usamos a expansão de Taylor de \( \tan(x) \) para resolver o limite. 
 
16. **Problema:** Calcule a integral \( \int \sin(2x) \cos(3x) \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \sin(2x) \cos(3x) \, dx = -\frac{\cos(5x)}{10} + \frac{\cos(x)}{10} + C 
\). 
 - **Explicação:** Usamos a identidade trigonométrica \( \sin(A) \cos(B) = \frac{1}{2} 
[\sin(A-B) + \sin(A+B)] \). 
 
17. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = e^{x^2} \). 
 - **Resposta:** \( g'(x) = 2x e^{x^2} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial 
composta. 
 
18. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{2x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{2x} = e^2 \).