Cálculos de Limite e Integral

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- **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
280. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{4x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( e^{12} \). Utilize a definição de limite 
exponencial. 
 
281. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_1^{\cos(x)} \frac{\sin(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-
\sin(x)) \). 
 
282. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
283. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 3. Utilize a série de Taylor para \( e^{3x} \). 
 
284. **Problema:** Encontre a deriv 
 
ada de \( g(x) = \int_{\cos(x)}^{x^3} \frac{\cos(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{\cos(x^3)}{x^3} \cdot 3x - 
\frac{\cos(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). 
 
285. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
286. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{4x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( e^{12} \). Utilize a definição de limite 
exponencial. 
 
287. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_1^{\cos(x)} \frac{\sin(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-
\sin(x)) \). 
 
288. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
289. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 2. Utilize a série de Taylor para \( e^{2x} \). 
 
290. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \int_{\cos(x)}^{x^3} \frac{\cos(t)}{t} \, dt 
\). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( g'(x) = \frac{\cos(x^3)}{x^3} \cdot 3x - 
\frac{\cos(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \). 
 
291. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
292. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)^{4x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( e^{12} \). Utilize a definição de limite 
exponencial. 
 
293. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \int_1^{\cos(x)} \frac{\sin(t)}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( f'(x) = \frac{\sin(\cos(x))}{\cos(x)} \cdot (-
\sin(x)) \). 
 
294. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^4}{\sqrt{1 - x^6}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilize substituição trigonométrica para resolver esta 
integral indefinida. 
 
295. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é 3. Utilize a série de Taylor para \( e^{3x} \).