Prévia do material em texto

- Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 4x} - x \right) = 2 \). 
 - Explicação: Simplifica-se a expressão usando a aproximação para grandes \( x \). 
 
25. Determine a derivada de \( g(x) = \ln(\sec^3 x) \). 
 - Resposta: \( g'(x) = 3\tan x \sec^3 x \). 
 - Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar \( \ln(\sec^3 x) \). 
 
26. Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{4x^2 + 1}} \, dx \). 
 - Resposta: \( \int \frac{x}{\sqrt{4x^2 + 1}} \, dx = \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{4} + C \). 
 - Explicação: Substitui-se \( u = 4x^2 + 1 \) e resolve-se a integral resultante. 
 
27. Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - e^{-x^2/4}}{x^4} \). 
 - Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - e^{-x^2/4}}{x^4} = -\frac{1}{48} \). 
 - Explicação: Expandimos \( \cos x \) e \( e^{-x^2/4} \) em série de Taylor e simplificamos. 
 
28. Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\csc^2 x) \). 
 - Resposta: \( f'(x) = -2\cot x \csc^2 x \). 
 - Explicação: Usamos a regra da cadeia para derivar \( \ln(\csc^2 x) \). 
 
29. Calcule \( \int \frac{1}{x^2 - 2x + 2} \, dx \). 
 - Resposta: \( \int \frac{1}{x^2 - 2x + 2} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{x - 
1}{\sqrt{2}} \right) + C \). 
 - Explicação: Completa-se o quadrado e usa-se a fórmula para integrais de funções 
racionais. 
 
30. Encontre \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right) \). 
 - Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right) = \frac{5}{2} \). 
 - Explicação: Simplifica-se a expressão usando a aproximação para grandes \( x \). 
 
31. Determine a derivada de \( g(x) = \ln(\cot^2 x) \). 
 - Resposta: \( g'(x) = -2\csc^2 x \). 
 - Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar \( \ln(\cot^2 x) \). 
 
32. Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \). 
 - Resposta: \( \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx = -\sqrt{9 - x^2} + C \). 
 - Explicação: Substitui-se \( u = 9 - x^2 \) e resolve-se a integral resultante. 
 
33. Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - e^{-x^2/6}}{x^4} \). 
 - Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - e^{-x^2/6}}{x^4} = \frac{1}{216} \). 
 - Explicação: Expandimos \( \sin x \) e \( e^{-x^2/6} \) em série de Taylor e simplificamos. 
 
34. Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\csc^3 x) \). 
 - Resposta: \( f'(x) = -3\cot x \csc^3 x \). 
 - Explicação: Usamos a regra da cadeia para derivar \( \ln(\csc^3 x) \). 
 
35. Calcule \( \int \frac{1}{x^2 + 3x + 5} \, dx \). 
 - Resposta: \( \int \frac{1}{x^2 + 3x + 5} \, dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{x + 
\frac{3}{2}}{\sqrt{2}} \right) + C \). 
 - Explicação: Completa-se o quadrado e usa-se a fórmula para integrais de funções 
racionais. 
 
36. Encontre \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right) \). 
 - Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right) = 3 \). 
 - Explicação: Simplifica-se a expressão usando a aproximação para grandes \( x \). 
 
37. Determine a derivada de \( g(x) = \ln(\tan x) \). 
 - Resposta: \( g'(x) = \sec^2 x \). 
 - Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar \( \ln(\tan x) \). 
 
38. Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^2}} \, dx \). 
 - Resposta: \( \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^2}} \, dx = -\sqrt{16 - x^2} + C \). 
 - Explicação: Substitui-se \( u = 16 - x^2 \) e resolve-se a integral resultante. 
 
39. Encontre \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - e^{-x^2/8}}{x^4} \).