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- **Resposta:** \( 1 - \frac{1}{e} \). 
 
47. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{\sin( 
 
6x)} \). 
 - **Resolução:** 
 Utilize expansões de série de Taylor para calcular o limite. 
 - **Resposta:** \( \frac{5}{6} \). 
 
48. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \). 
 - **Resolução:** 
 Aplicando a regra do quociente, \( f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \). 
 
49. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, dx \). 
 - **Resolução:** 
 Substitua \( u = \cos(x) \) para integrar. 
 - **Resposta:** \( \sec(x) + C \). 
 
50. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{8}{x} \right)^{x} \). 
 - **Resolução:** 
 Use a definição de limite exponencial. 
 - **Resposta:** \( e^8 \). 
 
51. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \ln(\tan(x)) \). 
 - **Resolução:** 
 Aplicando a regra da cadeia, \( g'(x) = \frac{1}{\sin(x) \cos(x)} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{\sin(x) \cos(x)} \). 
 
52. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = \sin(2x) \), o eixo \( x 
\), e as linhas \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 - **Resolução:** 
 Integrar a função \( \sin(2x) \) entre os limites dados. 
 - **Resposta:** \( 1 \). 
 
53. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(6x)}{\sin(7x)} \). 
 - **Resolução:** 
 Utilize expansões de série de Taylor para calcular o limite. 
 - **Resposta:** \( \frac{6}{7} \). 
 
54. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^3} \). 
 - **Resolução:** 
 Aplicando a regra do quociente, \( f'(x) = \frac{1 - 3 \ln(x)}{x^4} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1 - 3 \ln(x)}{x^4} \). 
 
55. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1+x}} \, dx \). 
 - **Resolução:** 
 Substitua \( u = 1 + x \) para integrar. 
 - **Resposta:** \( \frac{2}{3} (1+x)^{3/2} + C \). 
 
56. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{9}{x} \right)^{x} \). 
 - **Resolução:** 
 Use a definição de limite exponencial. 
 - **Resposta:** \( e^9 \). 
 
57. **Problema:** Determine a derivada de \( h(x) = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) \). 
 - **Resolução:** 
 Aplicando a regra da cadeia, \( h'(x) = \frac{1 + x}{\sqrt{1+x^2}} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1 + x}{\sqrt{1+x^2}} \). 
 
58. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = \frac{1}{\sqrt{x}} \), o 
eixo \( x \), e as linhas \( x = 1 \) e \( x = 4 \).