Calcule o limite da função: lim(x -> 0) (tan(8x) / sin(9x)). Utilize expansões de série de Taylor para calcular o limite. a) 8/9 b) 9/8 c) 1 d) 0

Para calcular o limite da função utilizando expansões de série de Taylor, podemos fazer o seguinte: 1. Primeiramente, vamos encontrar as expansões de Taylor das funções envolvidas: - Para tan(x), a expansão de Taylor em torno de x = 0 é: tan(x) ≈ x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 + ... - Para sin(x), a expansão de Taylor em torno de x = 0 é: sin(x) ≈ x - (1/6)x^3 + (1/120)x^5 + ... 2. Substituímos essas expansões na expressão do limite: lim(x -> 0) (tan(8x) / sin(9x)) ≈ lim(x -> 0) ((8x + (1/3)(8x)^3) / (9x - (1/6)(9x)^3)) 3. Simplificamos a expressão: lim(x -> 0) ((8x + (1/3)(8x)^3) / (9x - (1/6)(9x)^3)) = lim(x -> 0) ((8x + 64/3 x^3) / (9x - 27/2 x^3)) = lim(x -> 0) (8 + 64/3 x^2) / (9 - 27/2 x^2) = 8/9 Portanto, o limite da função é 8/9, correspondente à alternativa a).