Cálculos de Limite e Integral

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- **Explicação:** Aplicamos a regra da potência para derivar a função. 
 
257. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} = \frac{3}{4} \). 
 - **Explicação:** Usamos as definições das funções trigonométricas para resolver o 
limite. 
 
258. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \sqrt{1 + x^2} + C \). 
 - **Explicação:** Usamos a substituição para resolver a integral indefinida. 
 
259. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \ln(3x^2 + 1) \). 
 - **Resposta:** \( g'(x) = \frac{6x}{3x^2 + 1} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da função logarítmica para derivar a função. 
 
260. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - x} = 2 \). 
 - **Explicação:** Fatoramos o numerador e o denominador para simplificar a 
expressão e resolver o limite. 
 
261. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx = \frac{1}{4} \ln\left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + 
C \). 
 - **Explicação:** Fatoramos o denominador e usamos a substituição para resolver a 
integral indefinida. 
 
262. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{\sin(x)} \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da potência para derivar a função. 
 
263. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} = \frac{3}{4} \). 
 - **Explicação:** Usamos as definições das funções trigonométricas para resolver o 
limite. 
 
264. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \sqrt{1 + x^2} + C \). 
 - **Explicação:** Usamos a substituição para resolver a integral indefinida. 
 
265. **Problema:** Encontre a derivada de \( g(x) = \ln(3x^2 + 1) \). 
 - **Resposta:** \( g'(x) = \frac{6x}{3x^2 + 1} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da função logarítmica para derivar a função. 
 
266. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - x} = 2 \). 
 - **Explicação:** 
 
 Fatoramos o numerador e o denominador para simplificar a expressão e resolver o limite. 
 
267. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx = \frac{1}{4} \ln\left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + 
C \). 
 - **Explicação:** Fatoramos o denominador e usamos a substituição para resolver a 
integral indefinida. 
 
268. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{\sin(x)} \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da potência para derivar a função. 
 
269. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(4x)} = \frac{3}{4} \). 
 - **Explicação:** Usamos as definições das funções trigonométricas para resolver o 
limite.