Problema: Encontre a integral de x^2 dividido por raiz quadrada de (1+x) em relação a x. Substitua u = 1 + x para integrar. a) (2/3) (1+x)^(3/2) + ...

Para resolver essa integral, primeiro fazemos a substituição \(u = 1 + x\), o que implica em \(du = dx\). Assim, a integral dada se torna: \[ \int \frac{x^2}{\sqrt{1+x}} dx = \int \frac{(u-1)^2}{\sqrt{u}} du \] Expandindo o numerador e simplificando, obtemos: \[ \int \left( u^{3/2} - 2u^{1/2} + u^{-1/2} \right) du = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{4}{3}u^{3/2} + 2u^{1/2} + C \] Substituindo de volta \(u = 1 + x\), temos: \[ \frac{2}{5}(1+x)^{5/2} - \frac{4}{3}(1+x)^{3/2} + 2(1+x)^{1/2} + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{2}{5}(1+x)^{5/2} - \frac{4}{3}(1+x)^{3/2} + 2(1+x)^{1/2} + C\)