Adobe InDesign CC 2017 _(2017-03-07 11-03-004267

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Geometria analítica 
e álGebra linear
atividade para avaliação
exercício 1
Determine uma base e a dimensão de cada um dos subes-
paços abaixo:
a. S = {(x,y,z) ∈ �3 | x + y - z = 0} (0,5 ponto)
b. S = {p ∈ P3(�) | p(1) = p(-1) = 0} (0,5 ponto)
c. S = {A ∈ M2(�) | tr(A) = 0}, onde tr(A) = a11 + a22 (1,0 ponto)
exercício 2 (2,0 pontos)
Encontre a matriz de T em relação às bases dadas:
a. T : �4 → �2, dada por T(x,y,z,w) = (x + y, z - w) em 
relação às bases canônicas.
b. T : �2 → �3, dada por T(x,y) = (x + y, 2x, 3y) em relação 
às bases canônicas.
c. T : P2(�) → �
2, dada por T(p) = (p(1), p(-1)) em relação 
às bases B = {1, 1 + t, t2} e F = {(1, 1), (1, -1)}.
d. T : �4 → M2(�), dada por T(x,y,z,w) = 
x + y z
w - x 2w
 em 
relação às bases canônicas.
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 13–16 Atividade para Avaliação 2
exercício 3 (2,0 pontos)
Para cada uma das transformações lineares acima, determine a dimensão 
do Núcleo e da Imagem e diga se ela é injetora ou sobrejetora.
exercício 4 (2,0 pontos)
Seja T : �2 → �2 o operador linear dado por T(x,y) = (x - y, x + 2y) . Determi-
ne a matriz de T-1 em relação a base canônica de �2, usando esta matriz, 
calcule T-1(-1,8).
exercício 5 (2,0 pontos)
Sejam T, S : �3 → �3 operadores lineares definidos por: 
T(x,y,z) = (x, x + y, y - z) e S(x,y,z) = (2x, y + z, 3z)
Verifique se o operador T ° S é invertível ou não.
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 13–16 Atividade para Avaliação 3
Gabarito
exercício 1
a. S = {(x,y,z) ∈ �3 | x + y - z = 0}
(x,y,z) ∈ S se x + y - z = 0 ⇒ z = x + y
logo os elementos de S são da forma
(x,y,x + y) = x(1,0,1) + y(0,1,1), x, y ∈ �
Logo uma base para S é o conjunto B = {(1,0,1),(0,1,1)}, assim dimS = 2.
b. S = {p ∈ P3(�) | p(1) = p(-1) = 0}
p(t) = a + bt + ct2 + dt3 ∈ S se p(1) = a + b + c + d = 0
p(-1) = a - b + c - d = 0
 ⇒
⇒ a + b + c + d = 0
2a + 2c = 0
 ⇒ b + d = 0
a + c = 0
 ⇒ d = -b
c = -a
logo os elementos de S são da forma
a + bt - at2 - bt3 = a(1 - t2) + b(t - t3), a, b ∈ �
Logo uma base para S é o conjunto B = {1 - t2,t - t3}, assim dimS = 2.
c. S = {A ∈ M2(�) | tr(A) = 0}, onde tr(A) = a11 + a22
 x y
 z w
 ∈ S se x + w = 0 ⇒ w = -x
logo os elementos de S são da forma
 x y
 z -x
 = x 1 0
 0 -1
 + y 0 1
 0 0
 + z 0 0
 1 0
 , x, y, z ∈ �
Logo uma base para S é o conjunto B = 1 0
 0 -1
 , 0 1
 0 0
 , 0 0
 1 0
 
assim dimS = 3.
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 13–16 Atividade para Avaliação 4
exercício 2
a. T : �4 → �2, dada por T(x,y,z,w) = (x + y, z - w) em relação às bases 
canônicas.
T(1,0,0,0) = (1,0)
T(0,1,0,0) = (1,0)
T(0,0,1,0) = (0,1)
T(0,0,0,1) = (0,-1)
Logo
[T] = 1 1 0 0
 0 0 1 -1
 
b. T : �2 → �3, dada por T(x,y) = (x + y, 2x, 3y) em relação às bases 
canônicas.
T(1,0) = (1,2,0)
T(0,1) = (1,0,3)
Logo
[T] = 
 1 1
 2 0
 0 3
 
c. T : P2(�) → �
2, dada por T(p) = (p(1), p(-1)) em relação às bases 
B = {1, 1 + t, t2} e F = {(1, 1), (1, -1)}.
T(1) = (1,1) = (1,0)F
T(1 + t) = (2,0) = (1,1)F
T(t2) = (1,1) = (1,0)F
Logo
[T]BF = 
 1 1 1
 0 1 0
 
d. T : �3 → M2(�), dada por T(x,y,z,w) = 
x + y z
w - x 2w
 em relação às 
bases canônicas.
T(1,0,0,0) = 1 0
 -1 0
 = (1,0,-1,0)Can
T(0,1,0,0) = 1 0
 0 0
 = (1,0,0,0)Can
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 13–16 Atividade para Avaliação 5
T(0,0,1,0) = 0 1
 0 0
 = (0,1,0,0)Can
T(0,0,0,1) = 0 0
 1 2
 = (0,0,1,2)Can
Logo
[T] = 
 1 1 0 0
 0 0 1 0
 -1 0 0 1
 0 0 0 2
 
exercício 3
a. N(T), 1 1 0 0
 0 0 1 -1
 
x
y
z
w
 = 0
0
 ⇒ x + y = 0
z - w = 0
 ⇒ y = -x
w = z
 
Logo (x,y,z,w) ∈ N(T) se for da forma (x,-x,z,z) assim o conjunto 
B = {(1,-1,0,0),(0,0,1,1)} é uma base para N(T) ⇒ dimN(T) = 2, pelo 
teorema do núcleo e imagem, dimIm(T) = 2, então T é sobrejetora e 
não é injetora.
b. N(T), 
 1 1
 2 0
 0 3
 x
y
 = 
0
0
0
 ⇒ 
x + y = 0
2x = 0
3y = 0
 ⇒ x = y = 0
Logo N(T) = {(0,0)} ⇒ dimN(T) = 0, pelo teorema do núcleo e ima-
gem, dimIm(T) = 2, então T é injetora e não é sobrejetora.
c. N(T), p(t) = a + bt + ct2 ∈ N(T) se p(1) = a + b + c = 0
p(-1) = a - b + c = 0
 ⇒
⇒ a + b + c = 0
2a + 2c = 0
 ⇒ b = 0
a + c = 0
 ⇒ b = 0
c = -a
logo os elementos de N(T) são da forma
a - at2 = a(1 - t2), a ∈ �
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 13–16 Atividade para Avaliação 6
Logo uma base para N(T) é o conjunto B = {1 - t2}, assim dimS = 1, 
pelo teorema do núcleo e imagem, dimIm(T) = 2, então T é sobreje-
tora e não é injetora.
d. 
 1 1 0 0
 0 0 1 0
 -1 0 0 1
 0 0 0 2
 
x
y
z
w
 = 
0
0
0
0
 ⇒ 
x + y = 0
z = 0
-x + w = 0
2w = 0
 ⇒ x = y = z = w = 0
Logo N(T) = {(0,0,0,0)} ⇒ dimN(T) = 0, pelo teorema do núcleo e ima-
gem, dimIm(T) = 4, então T é injetora e sobrejetora.
exercício 4
Temos que [T-1] = [T]-1, vamos calcular a matriz de T
T(1,0) = (1,1)
T(0,1) = (-1,2)
Logo
[T] = 1 -1
 1 2
 ⇒ [T]-1 = 1
3
 2 1
 -1 1
 , assim [T-1] = 1
3
 2 1
 -1 1
 
[T-1(-1,8)] = 1
3
 2 1
 -1 1
 -1
8
 = 1
3
 6
9
 = 2
3
 
Logo T-1(-1,8) = (2,3)
exercício 5
det[T ° S] = det 
 2 0 0
 2 1 1
 0 1 -2
 = -6 ≠ 0, logo T ° S é invertível