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**Resposta e Explicação:** \( \nabla f = (6x, 2) \). 
 
10. **Geometria Analítica:** Determine a distância entre os pontos \( (3, 2) \) e \( (-1, 5) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** A distância é \( \sqrt{17} \). 
 
11. **Álgebra Linear:** Encontre uma base para o espaço vetorial gerado pelos vetores \( 
(1, 2, 0) \) e \( (0, 1, -1) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** Uma base é \( \{(1, 2, 0), (0, 1, -1)\} \). 
 
12. **Cálculo Diferencial:** Calcule a derivada parcial de \( f(x, y) = x^2 y - 2xy + 3 \) em 
relação a \( y \). 
 
 **Resposta e Explicação:** \( \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 - 2x \). 
 
13. **Geometria Euclidiana:** Determine o volume de um cubo cuja aresta mede 4 
unidades. 
 
 **Resposta e Explicação:** O volume é \( 4^3 = 64 \) unidades cúbicas. 
 
14. **Probabilidade:** Lançamos dois dados justos. Qual é a probabilidade de que a 
soma dos números seja 7? 
 
 **Resposta e Explicação:** A probabilidade é \( \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \). 
 
15. **Teoria dos Números:** Qual é o menor múltiplo comum (mmc) de 12 e 18? 
 
 **Resposta e Explicação:** \( \text{mmc}(12, 18) = 36 \). 
 
16. **Cálculo Multivariado:** Calcule a integral \( \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \), onde \( 
V \) é a região delimitada pela esfera \( x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \). 
 
 **Resposta e Explicação:** A integral é \( \frac{4\pi}{3} \). 
 
17. **Álgebra Linear:** Determine se os vetores \( (1, 2, -1) \), \( (2, 1, 3) \), e \( (-1, 0, 1) \) 
são linearmente independentes. 
 
 **Resposta e Explicação:** Os vetores são linearmente independentes. 
 
18. **Cálculo Diferencial:** Encontre o valor máximo da função \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 
7 \). 
 
 **Resposta e Explicação:** O valor máximo ocorre em \( x = 2 \), onde \( f(2) = 11 \). 
 
19. **Geometria Analítica:** Determine a equação da esfera com centro em \( (1, -2, 3) \) 
e raio 4. 
 
 **Resposta e Explicação:** A equação é \( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16 \). 
 
20. **Probabilidade:** Se uma moeda justa é lançada 5 vezes, qual é a probabilidade de 
obter exatamente 3 caras? 
 
 **Resposta e Explicação:** A probabilidade é \( \binom{5}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^5 = 
0.3125 \). 
 
21. **Teoria dos Números:** Determine o resto da divisão de \( 17^{2023} \) por 7. 
 
 **Resposta e Explicação:** O resto é 2. 
 
22. **Cálculo Multivariado:** Calcule o divergente do campo vetorial \( \mathbf{F} = (x^2, 
y, z^3) \). 
 
 **Resposta e Explicação:** \( \nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 1 + 3z^2 \). 
 
23. **Álgebra Linear:** Encontre uma base para o núcleo da matriz \( \begin{bmatrix} 1 & 2 
& 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \).