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5 Geometria analítica e álGebra linear atividade para avaliação exercício 1 Calcule a norma dos seguintes vetores: a. A = 2 0 3 -2 1 2 Em M2×3 (R) com o produto interno usual. (1,0 ponto) b. f(x) = x2 em C([-1, 1]) com o produto interno usual. (1,0 ponto) exercício 2 (1,0 ponto) Verifique se as funções f(x) = senx e g(x) = cosx são ortogo- nais em C ([0, π 2 ]), com o produto interno usual. exercício 3 (1,0 pontos) Verifique se as funções f(x) = senx e g(x) = cosx são ortogo- nais em C ([- π 2 , π 2 ]), com o produto interno usual. exercício 4 Dada a matriz A encontre, caso exista, uma matriz invertível M tal que M-1 .A.M seja uma matriz diagonal. a. A = 3 -1 0 -2 (0,5 pontos) Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 2 b. A = 2 0 0 -1 1 2 2 2 4 (1 ponto) c. A = 3 -2 4 3 (0,5 pontos) exercício 5 Em R3 , com o produto interno usual, considere o operador linear dado por T(x, y, z) = (x - 2y, -2x + y, -z). a. Verifique que T é simétrico. (1 ponto) b. Determine uma matriz ortogonal M, tal que M-1 [T]Can.M seja diagonal. (1 ponto) exercício 6 (2,0 pontos) Verifique se a matriz A = 1 2 0 -1 -1 1 0 1 1 é ou não diagonalizável. Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 3 Gabarito exercício 1 a. < A, A > = tr(At A) = 22 + 02 + 32 + (-2)2 + 12 + 22 = 22, logo �A� = 22 b. < x2, x2 > = ∫ 1 -1 x2. x2dx = ∫ 1 -1 x4dx = 1 5 x5 � 1 -1 = 2 5 , logo, �x 2� = 2 5 exercício 2 < f, g > = ∫0 π 2 senx.cosxdx Fazendo a mudança u = senx → du = cosxdx, além disso, x = 0 ⇒ u = 0 x = π 2 ⇒ u = 1 a integral acima se transforma em: ∫ 1 0 udu = u2 2 � 1 0 = 1 2 logo senx e cosx não são ortogonais em C ([0, π 2 ]) exercício 3 < f, g > = ∫ π 2 - π 2 senx.cosxdx Fazendo a mudança u = senx → du = cosxdx, além disso, x = - π 2 ⇒ u = -1 x = π 2 - ⇒ u = 1 a integral acima se transforma em: ∫ 1 -1 udu = u2 2 � 1 -1 = 0 logo senx e cosx são ortogonais em C ([- π 2 , π 2 ]) Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 4 exercício 4 a. A = 3 -1 0 -2 det 3 - t -1 0 -2 - t = (3 - t)(-2 - t) = 0 ⇒ t = 3 t = -2 V(3) 3 -1 0 -2 x y = 3 x y ⇒ 3x - y = 3x -2y = 3y ⇒ y = 0 logo V(3) = [(1, 0)] V(-2) 3 -1 0 -2 x y = -2 x y ⇒ 3x - y = -2x -2y = -2y ⇒ y = 5x logo V(-2) = [(1, 5)] Assim, M = 1 1 0 5 b. A = 2 0 0 -1 1 2 2 2 4 Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 5 det 2 - t 0 0 -1 1 - t 2 2 2 4 - t = (2 - t)((1 - t) (4 - t) -4) = (2 - t)(t2 - 5t) = 0 ⇒ t = 2 t2 - 5t = 0 ⇒ t = 0 t = 5 V(2) 2 0 0 -1 1 2 2 2 4 x y z = 2 x y z ⇒ 2x = 2x -x + y + 2z = 2y 2x + 2y + 4z = 2z ⇒ -x - y + 2z = 0 2x + 2y + 2z = 0 ⇒ y = -x z = 0 logo V(2) = [(1, -1, 0)] V(0) 2 0 0 -1 1 2 2 2 4 x y z = 0 x y z ⇒ 2x = 0 -x + y + 2z = 0 2x + 2y + 4z = 0 ⇒ x = 0 y = -2z y = -2z logo V(0) = [(0, -2, 1)] Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 6 V(5) 2 0 0 -1 1 2 2 2 4 x y z = 5 x y z ⇒ 2x = 5x -x + y + 2z = 5y 2x + 2y + 4z = 5z ⇒ x = 0 z = 2y logo V(5) = [(0, 1, 2)] seja M = 1 0 0 -1 -2 1 0 1 2 c. A = 3 -2 4 3 det 3 - t -2 4 3 - t = (3 - t)2 + 8 ≠ 0 para todo t ∈ ℝ Logo A não é diagonalizável e, portanto, não existe tala matriz M. exercício 5 a. Vamos calcular a matriz de T na base canônica que é ortonormal. T(1, 0, 0) = (1, -2, 0), T(0, 1, 0) = (-2, 1, 0) e T(0, 0, 1) = (0, 0, -1) Assim, [T]Can = 1 -2 0 -2 1 0 0 0 -2 que é simétrica, logo T é simétrico. Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 7 b. det 1 - t -2 0 -2 1 - t 0 0 0 -1 - t = (-1 - t)((1 - t)2 -4) = 0 ⇒ t = -1 t2 - 2t - 3 = 0 ⇒ t = -1 t = 3 V(-1) 1 -2 0 -2 1 0 0 0 -1 x y z = -1 x y z ⇒ -x - 2y = -x -2x + y = -y -z = -z ⇒ y = x z é qualquer logo V(-1) = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] V(3) 1 -2 0 -2 1 0 0 0 -1 x y z = 3 x y z ⇒ x - 2y = 3x -2x + y = 3y -z = 3z ⇒ y = -x z = 0 logo V(3) = [(1, -1, 0)] �(1, 1, 0)� = �(1, -1, 0)� = 2 e �(0, 0, 1)� = 1 Uma possível matriz ortogonal que diagonaliza [T]Can é: Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 17–20 Atividade para Avaliação 8 M = 1 2 1 0 1 1 0 -1 0 2 0 exercício 6 det 1 - t 2 0 -1 -1 - t 1 0 1 1 - t = (1 - t)((-1 - t) (1 - t) -1) + 2 (1 - t) = (1- t)(t2 - 2) + 2(1- t) = (1- t)t2 = 0 ⇒ t = 0t = 1 ma(1) = 1⇒mg(1) = 1, agora ma(0) = 2 ⇒ mg(0) = 1 ou mg(0) = 2 mg(0) = dimV(0) = dimN(T) 1 2 0 -1 -1 1 0 1 1 x y z = 0 0 0 ⇒ x + 2y = 0 -x - y + z = 0 y + z = 0 ⇒ x = -2y z = -y Logo, V(0) = {(-2y, y, -y), y ∈ ℝ} = [(-2, 1, -1)] assim, mg(0) = dimV(0) = 1 ≠ ma(0) = 2 Logo A não é diagonalizável.