Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
APX2 – Álgebra Linear I  1009EAD – 1/2020 
Gabarito 
 
Questão 1  0.2 
Seja 33: T um operador linear tal que            .1,1,01,0,1,1,0,11,1,0,1,1,11,1,1  TTT 
a) Encontre  .4,3,2T 
b) O operador T é inversível? Justifique sua resposta. 
Solução. a) Se 3),,( zyx , 
(*) )1,0,1()1,1,0()1,1,1(),,(  cbazyx (pois vetores dados do domínio de T )1,0,1(),1,1,0(),1,1,1( 
formam uma base para o 3 ). 
Então, a partir da igualdade (*) temos o sistema, 



















3
2
3
2
3
zyx
zyx
zyx
c
b
a
zcba
yba
xca
. 
Logo no caso particular do vetor (2,3,4), temos: 
      )1,0,1(1)1,1,0(0)1,1,1(3)4,3,2(  
e assim, usando as propriedades de uma transformação linear: 
       )1,0,1(1)1,1,0(0)1,1,1(3)4,3,2( TTTT        .4,2,3)1,1,0(1)1,0,1(0)1,1,1(3  
b) Como      ,1,0,1,0,0);0,0,(0,1,0);0,1,()0,0,1( 323132   TTT então a matriz canônica do 
operador T é 
  .
100
001
3
2
3
1
3
2












T 
Como det [T] = 1/3≠ 0, T é inversível. 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 2  0.2 Se o operador linear 33: T está definido por  









022
312
314
,, zyxT








z
y
x
, 
encontre uma equação relacionando cba ,, de maneira que  cba ,, esteja na imagem de .T 
Solução.       .,,(),,,,,/,,Im 33 cbazyxTzyxcbaT  
Usando a definição da imagem de T, temos que resolver a equação matricial: 
 









022
312
314








z
y
x
=








c
b
a
. 
Mas, usando operações elementares sobre as linhas, temos que resolver o sistema nas variáveis x, y e z: 
 

















c
b
a
022
312
314























c
b
a
a
a
2
2
4
2
3
2
3
2
3
2
3
4
3
4
1
0
0
1
.
000
0
1
2
4
2
3
2
3
4
3
4
1



















cba
ba
a
 
Logo para que o sistema possua solução, a equação procurada é dada por .0 cba 
 
Questão 3  5.1 Calcule a matriz da transformação linear no 3 , obtida por uma rotação de
4

 radianos em 
torno eixo x no sentido anti-horário, seguido de uma projeção sobre o eixo z. 
Solução. A rotação de 45º, no sentido anti-horário é dada pela matriz 










 
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
001
A . 
A projeção sobre o eixo z é dada pela matriz .
100
000
000








B 
Logo, a matriz da transformação solicitada que representa a sequência de operação é dada pelo produto das 
matrizes 
.
100
000
000
.








AB











2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
001
= .
0
000
000
2
2
2
2 







 
 
 
Questão 4  0.2 
Considere 
1
P o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1. 
Sejam  vuA , e  srB , bases para
1
P , onde 1,3,  trtvtu e .1 ts 
a) Encontre a matriz   BAI , , mudança da base de A para a base B. 
b) Encontre a matriz   ABI , , mudança da base de B para a base A. 
c) A matriz   BAI , é a inversa da matriz   ABI , ? Justifique sua resposta. 
Solução. a) Observe que     




 1
2
1
1
2
1
tttu sr
2
1
2
1






 e 
       11123 tttv     .12 sr  Logo,   .
1
2
2
1
2
1
,









BAI 
b) Temos     









 3
3
1
3
2
1 tttr vu 










3
1
3
2
 e     




 




 3
3
1
3
4
1 ttts vu 




 





3
1
3
4
Daí   .
3
1
3
1
3
4
3
2
, 







 ABI 
c) A matriz   BAI , é a inversa da matriz   ABI , , pois   BAI , .   ABI , .
1
2
2
1
2
1









 .
3
1
3
1
3
4
3
2
I








 
 
Questão 5  0.1 
Considere a transformação linear 𝐹: ℜ → ℜ definida por: 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑟, 𝑠) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑟 + 𝑠, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑟 + 𝑠, −𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 𝑟 − 𝑠) 
Encontre uma base e uma dimensão para o núcleo de F. 
Solução. Para determinarmos o núcleo de F, façamos: 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑟, 𝑠) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑟 + 𝑠, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑟 + 𝑠, −𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 𝑟 − 𝑠) = (0,0,0) 
.Obtemos o sistema 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑟 + 𝑠 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑟 + 𝑠 = 0
−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 𝑟 − 𝑠 = 0
  
Resolvendo esse sistema usando das operações elementares sobre as linhas: 
1 1 1
2 −1 1
−1 3 2
 
1 1 0
−1 1 0
1 −1 0
~
1 1 1
0 −3 −1
0 4 3
 
1 1 0
−3 −1 0
2 0 0
~
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
1 1 1
0 1
1
3
0 0
5
3
 
1 1 0
1
1
3
0
−2 −
4
3
0⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
` 
~
1 0 2/3
0 1 1/3
0 0 5/3
 
0 2/3 0
1 1/3 0
−2 −4/3 0
~
1 0 2/3
0 1 1/3
0 0 1
 
0 2/3 0
1 1/3 0
−6/5 −4/5 0
 
Assim a solução é o subconjunto do ℜ = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑟, 𝑠) ∈ ℜ / 𝑥 = , 𝑦 = , 𝑧 = } 
 Logo N(F) = {( , , , 𝑟, 𝑠)/𝑟, 𝑠 ∈ ℜ}, 
Uma de suas bases é o conjunto {(-4,-7,6,5,0), (-6,-3,4,0,5)} e sua dimensão igual a 2. 
 
Questão 6  5.1 Seja nmT : uma transformação linear. 
Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove caso verdadeiras, dê um contra exemplo 
caso falsas. 
 
a) Se T é injetora então nm  . 
b) Se nm  então T é bijetora. 
c) Se nm  então T não é injetora. 
Solução. 
a) Falso. Desta forma, daremos um contra exemplo. 
A transformação linear 2: T tal que    xxxT , é injetora e nm  21 . 
b) Falso. Desta forma, daremos um contra exemplo. 
A transformação linear 22: T tal que    0,, xyxT  não é injetora pois o N(T)= {(0,y) / y 
∈ 𝐼𝑅}≠{(0,0)}. Dessa forma T não é bijetora. 
c) Verdadeira. Precisamos fazer uma demonstração. 
Podemos demonstrar, usando a contrapositiva da afirmação, isto é T é injetora então .nm  
Suponha então que T é uma tranformação linear injetora. 
Assim   .0dim TN 
Logo pelo Teorema do núcleo e da imagem,      .ImdimImdimdimdim TTTNm m  
Como  TIm é um subespaço vetorial de ,n .dim nn  
Assim temos .nm 