Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{22x} \, dx \). A) \( \int_{0}^{1} x e^{22x} \, dx = \frac{e^{22}}{484} - \frac{1}{484} \). B) \( \int_{0}^{1} x e^{22...

Para resolver a integral \( \int_{0}^{1} x e^{22x} \, dx \), é necessário utilizar integração por partes. A fórmula da integração por partes é dada por: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Neste caso, podemos escolher \( u = x \) e \( dv = e^{22x} \, dx \). Assim, temos \( du = dx \) e \( v = \frac{1}{22} e^{22x} \). Aplicando a fórmula da integração por partes, temos: \[ \int x e^{22x} \, dx = \frac{x}{22} e^{22x} - \int \frac{1}{22} e^{22x} \, dx \] \[ = \frac{x}{22} e^{22x} - \frac{1}{484} e^{22x} \] Agora, para encontrar o valor da integral no intervalo de 0 a 1, basta substituir os limites de integração: \[ \int_{0}^{1} x e^{22x} \, dx = \left[ \frac{x}{22} e^{22x} - \frac{1}{484} e^{22x} \right]_{0}^{1} \] \[ = \left( \frac{1}{22} e^{22} - \frac{1}{484} e^{22} \right) - \left( 0 - 0 \right) \] \[ = \frac{e^{22}}{22} - \frac{e^{22}}{484} \] \[ = \frac{22e^{22} - e^{22}}{484} \] \[ = \frac{21e^{22}}{484} \] Portanto, a alternativa correta é: A) \( \int_{0}^{1} x e^{22x} \, dx = \frac{e^{22}}{484} - \frac{1}{484} \).