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L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec x \, dx = \ln(\sqrt{3} + 1). \] 625. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{18x} \, dx \). **Resposta:** Integre por partes com \( u = x \) e \( dv = e^{18x} \, dx \): \[ \int_{0}^{1} x e^{18x} \, dx = \left[ \frac{x e^{18x}}{18} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{18x}}{18} \, dx = \frac{e^{18}}{324} - \frac{1}{324}. \] 626. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \sin(19x) \) centrada em \( x = 0 \). **Resposta:** A série de Taylor é: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(19x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 19x - \frac{6859x^3}{6} + \frac{130321x^5}{120} - \cdots. \] 627. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(20x)}{\sin(21x)} \). **Resposta:** Utilizando a expansão em série de Taylor para \( \tan x \) e \( \sin x \), temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(20x)}{\sin(21x)} = \lim_{x \to 0} \frac{20x + \frac{(20x)^3}{3}}{21x + \frac{(21x)^3}{6}} = \frac{20}{21}. \] 628. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(17x + 1) \). **Resposta:** A derivada é: \[ f'(x) = \frac{17}{17x + 1}. \] 629. **Problema:** Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(18x-16)^n}{n} \). **Resposta:** O raio de convergência é \( R = \frac{1}{18} \). 630. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 19y' + 54y = 0 \). **Resposta:** A solução geral é: \[ y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{3x}, \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 631. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos x) \), de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{3} \). **Resposta:** O comprimento da curva é: \[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec x \, dx = \ln(\sqrt{3} + 1). \] 632. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{19x} \, dx \). **Resposta:** Integre por partes com \( u = x \) e \( dv = e^{19x} \, dx \): \[ \int_{0}^{1} x e^{19x} \, dx = \left[ \frac{x e^{19x}}{19} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{19x}}{19} \, dx = \frac{e^{19}}{361} - \frac{1}{361}. \]