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\[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(16x)}{\sin(17x)} = \lim_{x \to 0} \frac{16x + \frac{(16x)^3}{3}}{17x + 
\frac{(17x)^3}{6}} 
 
 = \frac{16}{17}. 
 \] 
 
600. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(13x + 1) \). 
 
 **Resposta:** A derivada é: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{13}{13x + 1}. 
 \] 
 
601. **Problema:** Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{(14x-12)^n}{n} \). 
 
 **Resposta:** O raio de convergência é \( R = \frac{1}{14} \). 
 
602. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 15y' + 42y = 0 \). 
 
 **Resposta:** A solução geral é: 
 \[ 
 y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{3x}, 
 \] 
 onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 
603. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos x) \), de \( x = 0 \) a \( 
x = \frac{\pi}{3} \). 
 
 **Resposta:** O comprimento da curva é: 
 \[ 
 L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec x \, dx = \ln(\sqrt{3} + 1). 
 \] 
 
604. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{15x} \, dx \). 
 
 **Resposta:** Integre por partes com \( u = x \) e \( dv = e^{15x} \, dx \): 
 \[ 
 \int_{0}^{1} x e^{15x} \, dx = \left[ \frac{x e^{15x}}{15} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 
\frac{e^{15x}}{15} \, dx = \frac{e^{15}}{225} - \frac{1}{225}. 
 \] 
 
605. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \sin(16x) \) centrada em \( x = 0 
\). 
 
 **Resposta:** A série de Taylor é: 
 \[ 
 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(16x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 16x - \frac{65536x^3}{6} + 
\frac{1048576x^5}{120} - \cdots. 
 \] 
 
606. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(17x)}{x} \). 
 
 **Resposta:** Usando a definição de limite, temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(17x)}{x} = 17. 
 \] 
 
607. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(14x + 1) \). 
 
 **Resposta:** A derivada é: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{14}{14x + 1}.