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f'(x) = \frac{41}{41x + 1}. 
 \] 
 
797. **Problema:** Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{(42x-40)^n}{n} \). 
 
 **Resposta:** O raio de convergência é \( R = \frac{1}{42} \). 
 
798. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 43y' + 126y = 0 \). 
 
 **Resposta:** A solução geral é: 
 \[ 
 y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{3x}, 
 \] 
 onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 
799. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\cos x) \), de \( x = 0 \) a \( 
x = \frac{\pi}{3} \). 
 
 **Resposta:** O comprimento da curva é: 
 \[ 
 L = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec x \, dx = \ln(\sqrt{3} + 1). 
 \] 
 
800. **Problema:** Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{43x} \, dx \). 
 
 **Resposta:** Integre por partes com \( u = x \) e \( dv = e^{43x} \, dx \): 
 \[ 
 \int_{0}^{1} x e^{43x} \, dx = \left[ \frac{x e^{43x}}{43} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 
\frac{e^{43x}}{43} \, dx = \frac{e^{43}}{1849} - \frac{1}{1849}. 
 \]Claro! Vamos continuar gerando mais problemas matemáticos do oitavo ano sem 
repetições: 
 
101. Problema: Qual é o valor de \( \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \), expressado como uma 
fração irreduzível? 
 Resposta: \( \frac{1}{2} \). 
 Explicação: Multiplica-se os numeradores e denominadores das frações e depois 
simplifica-se a fração. 
 
102. Problema: Se um triângulo tem lados de comprimento 5 cm, 12 cm e 13 cm, ele é um 
triângulo retângulo? 
 Resposta: Sim. 
 Explicação: Verifica-se se os quadrados dos dois lados menores somam o quadrado do 
lado maior (\( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \) e \( 13^2 = 169 \)). 
 
103. Problema: Calcule \( \sqrt{144} \). 
 Resposta: \( \sqrt{144} = 12 \). 
 Explicação: O valor que, ao ser multiplicado por ele mesmo, é igual a 144. 
 
104. Problema: Qual é o valor de \( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \), expressado como uma fração 
irreduzível? 
 Resposta: \( \frac{7}{6} \). 
 Explicação: Encontra-se um denominador comum para as frações e depois soma-se os 
numeradores. 
 
105. Problema: Determine o valor de \( x \) na equação \( 2x - 3 = 5 \). 
 Resposta: \( x = 4 \). 
 Explicação: Isola-se o \( x \) e resolve-se a equação. 
 
106. Problema: Se um prisma triangular tem uma base com área de 18 cm² e uma altura 
de 6 cm, qual é seu volume? 
 Resposta: O volume é \( \frac{1}{2} \times 18 \times 6 = 54 \) cm³. 
 Explicação: O volume de um prisma triangular é a área da base multiplicada pela 
altura. 
 
107. Problema: Qual é o valor de \( 7^{2} \)?