Métodos Numéricos em Cálculos

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- **Explicação:** O método de Euler melhorado é uma versão mais precisa do método 
de Euler para resolver equações diferenciais. 
 
300. **Problema:** Calcule a integral ∫(20 to 27) ln(x) dx usando a regra do trapézio com 
54 subintervalos. 
 - **Resposta:** A integral é aproximadamente 161.794. 
 - **Explicação:** A regra do trapézio é um método numérico para calcular integrais 
usando a área sob a curva. 
 
301. **Problema:** Determine a raiz positiva da equação ln(x) = 21x com precisão de 
0.0001 usando o método de Newton-Raphson. 
 - **Resposta:** A raiz positiva é aproximadamente x ≈ 16.5907. 
 - **Explicação:** O método de Newton-Raphson é usado para encontrar raízes de 
equações através de aproximações sucessivas. 
 
302. **Problema:** Encontre a solução do sistema de equações não lineares: 
 x^2 + y^2 = 40000 
 x^2 - y^2 = 100 
 - **Resposta:** Uma das soluções é (x, y) ≈ (63.245, 40). 
 - **Explicação:** O sistema pode ser resolvido usando métodos iterativos como o 
método de Newton para sistemas não lineares. 
 
303. **Problema:** Calcule a derivada de f(x) = sen(x) em x = π/18 usando a fórmula de 
diferenças finitas para trás. 
 - **Resposta:** f'(π/18) ≈ 0.2090. 
 - **Explicação:** A fórmula de diferenças finitas para trás é uma forma de calcular 
derivadas numericamente. 
 
304. **Problema:** Encontre a solução do sistema de equações diferenciais: 
 dy/dx = x^2 + y 
 y(0) = 1 
 usando o método de Runge-Kutta de ordem 4 com passo h = 28. 
 - **Resposta:** A solução aproximada é y( 
 
28) ≈ 4488.76. 
 - **Explicação:** O método de Runge-Kutta de ordem 4 é um método muito preciso 
para resolver equações diferenciais numericamente. 
 
305. **Problema:** Calcule a integral ∫(0 to π/40) cos(x) dx usando a regra de Simpson 
com 80 segmentos. 
 - **Resposta:** A integral é aproximadamente 0.999. 
 - **Explicação:** A regra de Simpson é um método numérico para calcular integrais 
usando polinômios de segundo grau. 
 
306. **Problema:** Determine a raiz positiva da equação e^x = 24x com precisão de 
0.0001 usando o método de Newton-Raphson. 
 - **Resposta:** A raiz positiva é aproximadamente x ≈ 5.4315. 
 - **Explicação:** O método de Newton-Raphson é usado para encontrar raízes de 
equações através de aproximações sucessivas. 
 
307. **Problema:** Encontre a solução do sistema de equações não lineares: 
 x^2 + y^2 = 36100 
 x^2 - y^2 = 98 
 - **Resposta:** Uma das soluções é (x, y) ≈ (53.411, 40). 
 - **Explicação:** O sistema pode ser resolvido usando métodos iterativos como o 
método de Newton para sistemas não lineares. 
 
308. **Problema:** Calcule a derivada de f(x) = ln(x) em x = 28 usando a fórmula de 
diferenças finitas centradas. 
 - **Resposta:** f'(28) ≈ 0.0357. 
 - **Explicação:** A fórmula de diferenças finitas centradas é uma forma mais precisa de 
calcular derivadas numericamente. 
 
309. **Problema:** Encontre a solução do sistema de equações diferenciais: 
 dy/dx = x^2 + y 
 y(0) = 1 
 usando o método de Euler melhorado com passo h = 28. 
 - **Resposta:** A solução aproximada é y(28) ≈ 4455.52.