2ª Questão (3,0) Diga se as afirmacoes abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso verdadeira, prove. Caso contrário, dê um contra exemplo. (a) Se A, B...

Para responder a questão, vamos analisar cada afirmação: (a) Se A, B e AB são matrizes simétricas então AB = BA. Verdadeiro. Se A e B são matrizes simétricas, então A^T = A e B^T = B. Como AB é simétrica, temos que (AB)^T = AB. Portanto, AB = (AB)^T = B^T A^T = BA. (b) O conjunto { (1, y), (x, 1+y) } é um subespaço de ℝ². Falso. Para ser um subespaço vetorial, o conjunto precisa ser fechado sob a adição vetorial e a multiplicação por escalar. No entanto, ao somar os vetores (1, y) e (x, 1+y), não é possível garantir que o resultado pertencerá ao conjunto. (c) Os vetores u = (1, 3) e w = (1, 3) geram ℝ². Verdadeiro. Os vetores u e w são linearmente dependentes, pois w = u. Como u ≠ 0, então os vetores geram ℝ². (d) O conjunto { (0, 0, 0), (0, 1, 0), (3, 2, 1) } é uma base de ℝ³. Falso. Para ser uma base, os vetores precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço. No entanto, o terceiro vetor é combinação linear dos dois primeiros, logo não são linearmente independentes. (e) Os vetores u = (1, 1, 0) e w = (1, 1, 1) são linearmente dependentes. Verdadeiro. Os vetores são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo. Neste caso, a combinação -1*u + 1*w = (0, 0, 0), mostrando que são linearmente dependentes. Portanto, as respostas são: (a) Verdadeiro (b) Falso (c) Verdadeiro (d) Falso (e) Verdadeiro