Problemas de Álgebra

Prévia do material em texto

29. **Problema:** Determine a inversa da matriz \( \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 
\end{bmatrix} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A matriz inversa é \( \begin{bmatrix} \frac{4}{11} & 
\frac{1}{11} \\ -\frac{3}{11} & \frac{2}{11} \end{bmatrix} \). 
 
30. **Problema:** Resolva o sistema de inequações: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 2x + y \leq 5 \\ 
 x - y > 1 
 \end{cases} 
 \] 
 - **Resposta e Explicação:** A solução é \( x > 2 \) e \( -3 \leq y \leq 1 \). 
 
31. **Problema:** Simplifique a expressão \( \log_2 (2x) - \log_2 x \). 
 - **Resposta e Explicação:** Usando a propriedade dos logaritmos, \( \log_2 (2x) - \log_2 
x = \log_2 \left( \frac{2x}{x} \right) = \log_2 2 = 1 \). 
 
32. **Problema:** Calcule o valor de \( \cot 45^\circ \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( \cot 45^\circ = 1 \), pois \( \cot \theta = \frac{\cos 
\theta}{\sin \theta} \). 
 
33. **Problema:** Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2x \). 
 - **Resposta e Explicação:** Integrando ambos os lados, \( y = x^2 + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. 
 
34. **Problema:** Determine a distância entre os pontos \( (3, 2) \) e \( (-1, -1) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A distância é \( \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{16 + 9} 
= 5 \). 
 
35. **Problema:** Resolva a equação trigonométrica \( \sin 2x = \cos x \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) e \( \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \). 
Claro, aqui estão 100 problemas de álgebra com suas respostas e explicações: 
 
1. **Problema:** Resolva a equação \( 2x + 5 = 15 \). 
 - **Resposta:** \( x = 5 \). 
 - **Explicação:** Subtraímos 5 de ambos os lados da equação, depois dividimos por 2. 
 
2. **Problema:** Simplifique \( 3x^2 + 2x - 5x^2 + 7 \). 
 - **Resposta:** \( -2x^2 + 2x + 7 \). 
 - **Explicação:** Combine termos semelhantes. 
 
3. **Problema:** Fatorize completamente \( x^2 - 4 \). 
 - **Resposta:** \( (x - 2)(x + 2) \). 
 - **Explicação:** Utilize a diferença de quadrados. 
 
4. **Problema:** Resolva a inequação \( 3x + 7 > 16 \). 
 - **Resposta:** \( x > 3 \). 
 - **Explicação:** Subtraímos 7 de ambos os lados e depois dividimos por 3, mudando o 
sinal da desigualdade. 
 
5. **Problema:** Calcule o valor de \( x \) em \( \frac{3x}{4} = 9 \). 
 - **Resposta:** \( x = 12 \). 
 - **Explicação:** Multiplicamos ambos os lados por 4 e depois dividimos por 3. 
 
6. **Problema:** Resolva o sistema de equações: 
 \[ \begin{cases} 
 2x + 3y = 7 \\ 
 4x - y = 1 
 \end{cases} \] 
 - **Resposta:** \( x = 2, y = 1 \). 
 - **Explicação:** Use substituição ou eliminação para resolver o sistema. 
 
7. **Problema:** Simplifique \( \frac{4x^2}{2x} \).