Problemas de Cálculo e Álgebra

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139. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 4} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{2} \ln|x + 2| + C \). 
 - **Explicação:** Fatorando o integrando e integrando usando substituição simples. 
 
140. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \arcsin(2x + 1) \). 
 - **Resposta:** \( y' = \frac{2}{\sqrt{4x^2 + 4x + 3}} \). 
 - **Explicação:** Aplicando a regra da cadeia e a derivada da função arco seno. 
 
141. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta:** \( 2 \). 
 - **Explicação:** Usando a definição de limite e a série de Taylor para \( e^{2x} \). 
 
142. **Problema:** Resolva a equação \( \log_5(x+3) = 2 \). 
 - **Resposta:** \( x = 22 \). 
 - **Explicação:** Aplicando a definição de logaritmo para resolver a equação. 
 
143. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \sin x \) e o eixo 
\( x \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 - **Resposta:** A área é \( 2 \). 
 - **Explicação:** Integrando a função entre os limites dados. 
 
144. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \sqrt{x^2 + 2x} + C \). 
 - **Explicação:** Simplificando a expressão e integrando usando substituição. 
 
145. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \). 
 - **Resposta:** \( y' = \frac{1 - \sqrt{x}}{2x^{3/2}(x + 1)^2} \). 
 - **Explicação:** Aplicando a regra do quociente e a derivada da função raiz. 
 
146. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{x} \). 
 - **Resposta:** \( 6 \). 
 - **Explicação:** Usando a definição de limite e as propriedades do seno. 
 
147. **Problema:** Resolva o sistema de equações lineares: 
 \( \begin{cases} 3x - y = 1 \\ x + 2y = 7 \end{cases} \). 
 - **Resposta:** \( x = 2, y = 3 \). 
 - **Explicação:** Utilizando o método de substituição ou eliminação para encontrar a 
solução. 
 
148. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \), \( y = 0 
\), \( x = 1 \), e \( x = 2 \). 
 - **Resposta:** A área é \( e - 1 \). 
 - **Explicação:** Integrando a função entre os limites dados. 
 
149. **Problema:** Calcule \( \int \frac{1}{x^4 - 1} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{1}{2} \arctan x + C \). 
 - **Explicação:** Utilizando decomposição em frações parciais para integrar a 
expressão. 
 
150. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \ln(3x + 2) \). 
 - **Resposta:** \( y' = \frac{3}{3x + 2} \). 
 - **Explicação:** Aplicando a regra da cadeia e a derivada da função logarítmica. 
 
151. **Problema:** Determine o valor de 
 
 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} \). 
 - **Resposta:** \( 2 \). 
 - **Explicação:** Usando a definição de limite e as propriedades do tangente. 
 
152. **Problema:** Resolva a equação \( 5^{2x} = 25^x \). 
 - **Resposta:** \( x = \frac{1}{2} \). 
 - **Explicação:** Aplicando propriedades de expoentes para resolver a equação.