Problemas de Álgebra

Prévia do material em texto

- **Resolução:** Convertendo a equação logarítmica para forma exponencial, \( 
 
 \log_3{\frac{x + 1}{x}} = 2 \), então \( \frac{x + 1}{x} = 9 \). Resolvendo a equação linear 
resultante, encontramos \( x = \frac{1}{8} \). 
 - **Resposta:** \( x = \frac{1}{8} \). 
 
56. **Problema:** Simplifique \( \sqrt{3x - 2} \cdot \sqrt{2x + 1} \). 
 - **Resolução:** Combine as raízes, \( \sqrt{(3x - 2)(2x + 1)} \). 
 - **Resposta:** \( \sqrt{3x - 2} \cdot \sqrt{2x + 1} = \sqrt{6x^2 + x - 2} \). 
 
57. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{4}{x-1} = 3 - \frac{1}{x-1} \). 
 - **Resolução:** Combine os termos do lado direito, \( \frac{4}{x-1} = \frac{3(x - 1) - 1}{x - 
1} \). Isso simplifica para \( 4 = 2x + 2 \). 
 - **Resposta:** \( x = 1 \). 
 
58. **Problema:** Fatorize completamente \( x^4 - 81 \). 
 - **Resolução:** Esta é a diferença de quadrados, \( x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x - 3)(x 
+ 3)(x^2 + 9) \). 
 - **Resposta:** \( x^4 - 81 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) \). 
 
59. **Problema:** Resolva a equação \( 2^{2x} = 8 \). 
 - **Resolução:** Escreva 8 como \( 2^3 \), então \( 2^{2x} = 2^3 \). Igualando os 
expoentes, \( 2x = 3 \). 
 - **Resposta:** \( x = \frac{3}{2} \). 
 
60. **Problema:** Simplifique \( \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 4x + 4} \). 
 - **Resolução:** Fatorize numerador e denominador, resultando em \( \frac{(x - 4)(x + 
2)}{(x + 2)^2} \). Cancelando \( x + 2 \), obtemos \( \frac{x - 4}{x + 2} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 4x + 4} = \frac{x - 4}{x + 2} \). 
 
61. **Problema:** Determine a solução para \( \log_5{(x + 1)} + \log_5{(x + 2)} = 1 \). 
 - **Resolução:** Convertendo a equação logarítmica para forma exponencial, \( 
\log_5{(x + 1)(x + 2)} = 1 \), então \( (x + 1)(x + 2) = 5 \). Resolvendo a equação quadrática 
resultante, encontramos \( x = 1 \). 
 - **Resposta:** \( x = 1 \). 
 
62. **Problema:** Resolva a equação \( 5^{x-1} = 25 \). 
 - **Resolução:** Escreva 25 como \( 5^2 \), então \( 5^{x-1} = 5^2 \). Igualando os 
expoentes, \( x - 1 = 2 \). 
 - **Resposta:** \( x = 3 \). 
 
63. **Problema:** Simplifique \( \frac{3x^2 - 5x - 2}{x^2 - 1} \). 
 - **Resolução:** Fatorize numerador e denominador, resultando em \( \frac{(3x + 1)(x - 
2)}{(x - 1)(x + 1)} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{3x^2 - 5x - 2}{x^2 - 1} = \frac{(3x + 1)(x - 2)}{(x - 1)(x + 1)} \). 
 
64. **Problema:** Resolva a equação \( \sqrt{4x - 1} = 5 \). 
 - **Resolução:** Elevando ambos os lados ao quadrado, encontramos \( 4x - 1 = 25 \), 
resultando em \( x = 6 \). 
 - **Resposta:** \( x = 6 \). 
 
65. **Problema:** Determine a solução para \( \log_6{(x + 1)} - \log_6{x} = 2 \). 
 - **Resolução:** Convertendo a equação logarítmica para forma exponencial, \( 
\log_6{\frac{x + 1}{x}} = 2 \), então \( \frac{x + 1}{x} = 36 \). Resolvendo a equação linear 
resultante, encontramos \( x = \frac{1}{35} \). 
 - **Resposta:** \( x = \frac{1}{35} \). 
 
66. **Problema:** Simplifique \( \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \). 
 - **Resolução:** Fatorize numerador e denominador, resultando em \( \frac{(2x + 3)(x - 
5)}{(x + 4)(x - 1)} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} = \frac{(2x + 3)(x - 5)}{(x + 4)(x - 1)} \). 
 
67. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} = 1 \). 
 - **Resolução:** Combine os termos do lado esquerdo, \( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} = 
\frac{x+5}{(x+2)(x+3)} = 1 \). Isso simplifica para \( x + 5 = x^2 + 5x + 6 \), resultando em \( 
x^2 + 4x + 1 = 0 \). Resolvendo, temos \( x = -1 \). 
 - **Resposta:** \( x = -1 \).