Problemas de Cálculo e Álgebra

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206. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \ln(\sec(x)) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \tan(x) \). 
 - **Explicação:** Aplicando a regra do logaritmo para derivar a função. 
 
207. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y} \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = \sqrt{x^3 + C} \). 
 - **Explicação:** Resolvendo a equação diferencial separável. 
 
208. **Problema:** Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(2x) \) e \( y 
= \cos(2x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{2} \) unidades quadradas. 
 - **Explicação:** Calculando a integral da diferença entre as duas funções no intervalo 
dado. 
 
209. **Problema:** Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 + 
y^2 \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = \tan\left(\frac{x^3}{3} + C\right) \). 
 - **Explicação:** Resolvendo a equação diferencial separável. 
 
210. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{2x} \). 
 - **Resposta:** \( e^2 \). 
 - **Explicação:** Aplicando o limite exponencial. 
 
211. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = e^{2x} \cos(x) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = 2e^{2x} \cos(x) - e^{2x} \sin(x) \). 
 - **Explicação:** Aplicando a regra do produto para derivar a função. 
 
212. **Problema:** Resolva a equação \( \sqrt{4 - 2x} = x \). 
 - **Resposta:** \( x = 2 \). 
 - **Explicação:** Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver a equação. 
 
213. **Problema:** Determine a equação da reta que é perpendicular à reta \( 2x + 3y = 6 
\) e passa pelo ponto \( (1, -1) \). 
 - **Resposta:** \( 3x - 2y = 5 \). 
 - **Explicação:** Encontrando a reta perpendicular usando o negativo do inverso do 
coeficiente angular. 
 
214. **Problema:** Resolva a integral \( \int \frac{x + 1}{x^2 + 2x} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{x + 1}{x^2 + 2x} \, dx = \ln|x^2 + 2x| + C \). 
 - **Explicação:** Simplificando a integral usando a fatoração. 
 
215. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 
\frac{y}{x} + x \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = Cx + x^2 - x \). 
 - **Explicação:** Resolvendo a equação diferencial linear. 
 
216. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{3x} \). 
 - **Resposta:** \( e^6 \). 
 - **Explicação:** Aplicando o limite exponencial. 
 
217. **Problema:** Determine a área da região limitada pela curva \( y = \ln(x) \), o eixo \( x 
\) e as linhas \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 - **Resposta:** \( 1 + e - e \). 
 - **Explicação:** Calculando a integral definida para encontrar a área sob a curva. 
 
218. **Problema:** Resolva a equação \( 2^x - 3 \cdot 2^{-x} = 2 \). 
 - **Resposta:** \( x = 2 \). 
 - **Explicação:** Substituindo \( y = 2^x \) para resolver a equação. 
 
219. **Problema:** Encontre a matriz inversa de \( B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 
\end{bmatrix} \). 
 - **Resposta:** \( B^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \). 
 - **Explicação:** Calculando a inversa da matriz usando o método de adjuntos.