Problemas de Álgebra

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280. Problema: Simplifica a expressão \( \sqrt{\frac{x^3 + 2x^2 - x}{x^2 + 4x + 3}} \). 
 Resolução: Fatoramos o radical: \( \sqrt{\frac{x(x^2 + 2x - 1)}{(x+1)(x+3)}} \). 
 Resposta: \( \frac{x \sqrt{x^2 + 2x - 1}}{\sqrt{(x+1)(x+3)}} \). 
 
281. Problema: Resolve a equação \( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{2} \). 
 Resolução: Encontramos um denominador comum: \( \frac{x-2 + x+2}{(x+2)(x-2)} = 
\frac{1}{2} \). 
 Resposta: \( x = \pm 2 \). 
 
282. Problema: Simplifica a expressão \( \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3x + 2} \). 
 Resolução: Fatoramos numerador e denominador: \( \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x+2)} \). 
 Resposta: \( \frac{x+1}{x+2} \), exceto em \( x = -1 \). 
 
283. Problema: Resolve a equação \( \log_2{(x+1)} - \log_2{(x-1)} = 1 \). 
 Resolução: \( \log_2{\frac{x+1}{x-1}} = 1 \). Transformamos em equação exponencial: \( 
\frac{x+1}{x-1} = 2 \). 
 Resposta: \( x = 3 \). 
 
284. Problema: Simplifica a expressão \( \frac{3x^2 - 5x + 2}{x^2 - 1} \ 
 
). 
 Resolução: Fatoramos numerador e denominador: \( \frac{(3x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} \). 
 Resposta: \( \frac{3x-1}{x+1} \), exceto em \( x = \pm 1 \). 
 
285. Problema: Resolve a equação \( 4^{x-1} = 16 \). 
 Resolução: \( 4^{x-1} = 4^2 \). Igualamos os expoentes: \( x - 1 = 2 \). 
 Resposta: \( x = 3 \). 
 
286. Problema: Simplifica a expressão \( \sqrt{\frac{x^3 + 2x^2 - x}{x^2 + 4x + 3}} \). 
 Resolução: Fatoramos o radical: \( \sqrt{\frac{x(x^2 + 2x - 1)}{(x+1)(x+3)}} \). 
 Resposta: \( \frac{x \sqrt{x^2 + 2x - 1}}{\sqrt{(x+1)(x+3)}} \). 
 
287. Problema: Resolve a equação \( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{2} \). 
 Resolução: Encontramos um denominador comum: \( \frac{x-2 + x+2}{(x+2)(x-2)} = 
\frac{1}{2} \). 
 Resposta: \( x = \pm 2 \). 
 
288. Problema: Simplifica a expressão \( \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3x + 2} \). 
 Resolução: Fatoramos numerador e denominador: \( \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x+2)} \). 
 Resposta: \( \frac{x+1}{x+2} \), exceto em \( x = -1 \). 
 
289. Problema: Resolve a equação \( \log_2{(x+1)} = 3 \). 
 Resolução: \( x+1 = 2^3 \). Resolvemos para \( x \). 
 Resposta: \( x = 7 \). 
 
290. Problema: Simplifica a expressão \( \frac{4x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3} \). 
 Resolução: Fatoramos numerador e denominador: \( \frac{(2x-3)(2x+3)}{(x-1)(x-3)} \). 
 Resposta: \( \frac{2x+3}{x-1} \), exceto em \( x = 3 \). 
 
291. Problema: Resolve a equação \( \sqrt{x} + \sqrt{x+4} = 4 \). 
 Resolução: Elevamos ambos os lados ao quadrado: \( x + \sqrt{x(x+4)} + x + 4 = 16 \). 
Resolvemos para \( x \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 
292. Problema: Simplifica a expressão \( \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6} \). 
 Resolução: Fatoramos numerador e denominador: \( \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)} \). 
 Resposta: \( \frac{x+2}{x+3} \), exceto em \( x = 2 \). 
 
293. Problema: Resolve a equação \( \log_4{(x+1)} = 2 \). 
 Resolução: \( x+1 = 4^2 \). Resolvemos para \( x \). 
 Resposta: \( x = 15 \). 
 
294. Problema: Simplifica a expressão \( \frac{2x^2 - 5x + 2}{x^2 - 4} \).