Prévia do material em texto
Universidade Federal do Piauí Departamento de Matemática Prof. José Francisco de Oliveira Cálculo III LISTA 1 1. Diga o que é uma função de 2 variáveis, de 3 variáveis e de n variáveis reais com valores reais. Dê exemplos de situações práticas nas quais aparecem funções de várias variáveis. 2. Considere f(x, y) = √ 1− x2 − y2. (a) Determine o domínio D de f . (b) Determine a imagem Im(f) de f . (c) Desenhe as curvas de nível de f . (d) Esboce o gráfico. 3. Considere a função f(x, y, z) = x2 + 4y2 + z2. Desenhe a superfície de nível de f correspondente ao nível c = 4. 4. Calcule, caso exista. (a) lim (x,y)→(0,0) x sen 1 x2 + y2 (b) lim (x,y)→(0,0) x+ y x− y (c) lim (x,y)→(0,0) xy y − x3 (d) lim(x,y)→(0,0) x√ x2 + y2 5. Suponha lim(x,y)→(a,b) f(x, y) = α e limu→α g(u) = L, onde g não é definida em α e Im(f) ⊂ Dg. Prove que lim (x,y)→(a,b) g(f(x, y)) = lim u→α g(u). Prove ainda que o resultado acima continua válido se supusermos g definida e contínua em α. 6. Calcule lim(x,y)→(0,0) sen(x2+y2) x2+y2 . 7. Determine todos os pontos nos quais cada função é contínua. (a) f(x, y) = ln x−y x2+y2 (b) f(x, y) = { sen(x2+y2) x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 1, se (x, y) = (0, 0) 8. Considere a função f : R2 → R definida por f(x, y) = xy2 x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0. (a) Essa função é contínua em (0, 0)? (b) Será que f é diferenciável em R2, isto é, em todos os pontos de R2? 9. Seja f : R→ R uma função diferenciável e considere g(x, y, z) = f(r) onde r = r(x, y, z) = ‖(x, y, z)‖ = √ x2 + y2 + z2. Prove que g safisfaz a equação xgx + ygy + zgz = rf ′(r). 10. Determine a equação geral do plano tangente à superfície no ponto especificado. (a) z = 4x2 − y2 + 2y e P = (−1, 2, 4) (b) z = y lnx e P = (1, 4, 0) (c) z = y cos (x− y) e P = (2, 2, 2) 11. Determine um plano que seja paralelo ao plano z = 2x+ 3y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x2 +xy. 12. Determine a equação do plano tangente à superfície de equação x2 4 + y2 9 + z2 = 1 no ponto (0, 0, 1). 13. Considere f : R2 → R definida por f(x, y) = xy x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0. (a) Prove que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f não é diferenciável em (0, 0). (b) Explique porque fx e fy não podem ser contínuas em (0, 0). 14. A energia consumida por uma resistor elétrico é dado P = V 2 R watts. Se V = 100 volts e R = 10 ohms, calcule o valor aproximado da variação ∆P em P quando V decresce 0, 2 volt e R aumenta de 0, 01 ohm. 15. A altura de um cone é h = 20 cm e o raio da base r = 12 cm. Calcule o valor aproximado para a variação ∆V no volume quando a altura h aumenta 2 mm e r decresce 1 mm. 16. Suponha que y = y(x) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação x = F (x2 + y, y2) onde F (u, v) é suposta diferenciável. Expresse dydx em termo de x, y e das derivadas parciais ∂F ∂u e ∂F ∂v de F . 17. A voltagem V em um circuito elétrico simples decresce lentamente à medida que a pilha se descarrega. A resistência R aumenta lentamente com o aumento do calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = IR, para achar como a corrente I está variando no momento em que R = 400 Ω, I = 0, 08A, a taxa de variação da voltagem é de −0, 01V/s e a resistência varia 0, 03Ω/s. 18. A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a temperatura T (kelvins) de um mol de gás ideal estão relacionado por meio da fórmula PV = 8, 31T . Encontre a taxa de variação do volume quando a pressão é de 20kPa e a temperatura é de 320K sabendo que a pressão é aumentada à taxa de 0, 05kPa/s e a temperatura é elevada à taxa de 0, 15K/s. 19. A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2) é de 120◦. (a) Determine a taxa de variação de T em (1, 2, 2) e em direção ao ponto (2, 1, 3). (b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem. 20. Considere v = (1, 1) e f(x, y) = x2 + y2. Calcule a taxa de variação de f no ponto (2, 2) e na direção de v. A direção de v é a de maior crescimento? 21. Ache o ponto do plano x+ 2y − z = 4 que se encontra mais próximo da origem. 22. Ache os extremantes de f(x, y) = xy no conjunto compacto A = { (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. 23. Ache os valores máximos e mínimos da função f(x, y, x) = x2+y2+z2 sujeita à restrição x4+y4+z4 = 1.