Gabarito Terceira Prova 08_12_2023 CALCULO 3 UFRJ

Prévia do material em texto

INSTITUTO DE MATEMÁTICA/UFRJ
PROFESSORA SELENE ALVES MAIA
GABARITO TERCEIRA PROVA DE CÁLCULO 3/CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2
08/12/2023
Questão 1: 2.5 pontos
Calcule 
S
x2  y2  2 z2dS, onde S : x2  y2  z2  4 com z 
x2  y2
3
.
Solução:
Etapa 1: Determinar a região D projeção do sólido W no xy.
x2  y2  z2  4  z  x2  y2 /3  x2  y2  x2  y22 / 9  4 
x2  y22  9  x2  y2  36  0  m2  9m  36 
1 m  9  15 / 2  3  x2  y2  3.
Como, x2  y2  3, então, 3  z2  4  z  1, pois, z  0. Logo, a curva C é uma circunferência
de centro 0,0, 1 e raio 3 .
Etapa 2: Parametrizar a esfera S.
2  ,  2sincos, 2 sin sin, 2 cos, ,  D.
i Determinar a variação de .
 Considere z  1. Então, da equação 2, obtém-se:
3 2cos  1  cos  1 /2     / 3.
Da equação 2 e como z  1, resulta que:
4 0     / 3.
ii Determinar a variação de .
Como não existe nenhuma restrição para x e para y, obtém-se:
5 0    2.
Portanto, das equações 4 e 5, resulta que:
6 D  ,  2| 0     / 3, 0    2.
Etapa 3: Determinar f  ,, onde f x,y, z  x2  y2  2 z2.
Da equação 5, obtém-se:
7 f  ,  4 sin2cos2  4 sin2 sin2  8 cos2  4 sin2  8 cos2.
Etapa 4: Determinar dS  N  , dd.
8 N  ,  4 sin  dS  4 sindd.
Logo, das equações 7 e 8, resulta que:

S
x2  y2  2 z2dS  
D
4 sin2  8 cos2 4 sindd  
D
16 sin3  32 cos2 sin dd 

S
x2  y2  2 z2dS  
D
16 1  cos2 sin  32 cos2 sindd 

S
x2  y2  2 z2dS  16  
D
sindd  48  
D
cos2 sindd 

S
x2  y2  2 z2dS  32 
0
/3
sin  96 
0
/3
cos2 sind  32  cos0
/3  32  cos30
/3 
9 
S
x2  y2  2 z2dS  16  32  7 /8  16  28  12.
Questão 2: 2.5 pontos
Verifique o teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para o campo vetorial
F x,y, z  3x,2 y, z e W é o sólido limitado pelas superfícies z  0, x2  y2  4 e x  y  z  3.
Solução:
10 
S
F  n dS  
W
div F x, y, zdxdydz,
S  S1  S2  S3, onde:
a S1 : z  f x,y  0, x,y  D1  x,y  2|x2  y2  4;
b S2 : z  g x,y  3  x  y, x,y  D2  x,y  2|x2  y2  4;
c S3 : x2  y2  4, 0  z  3  2 cos  2sin.
i Calcular a integral de superfície
S
F  n dS.
11 
S
F  n dS  
S1
F  n1 dS1  
S2
F  n2 dS2  
S3
F  n3 dS3.
 Cálculo da integral de superfície 
S1
F  n1 dS1  
D1
F 1 x,y  N1 1 x,ydxdy.
Etapa 1: Parametrizar a superfície S1.
Como S1 é dada explicitamentepor z  f x, y  0, então:
12 1 x,y  x,y, 0, x,y  D1,
onde a região D1 é definida por:
13 D1  x,y  2|x2  y2  4.
Etapa 2: Determinar N1 1 x,y.
Como z  f x,y  0 e N1 1 x,y é a normal exterior ao sólido W, então:
14 N1 1 x,y   fx x,y, fy x,y,1  0,0,1.
Etapa 3: DeterminarF 1 x,y.
Da definição do campo vetorial F e da equação 12, resulta que:
15 F 1 x,y  F x,y, 0  3x,2 y, 0.
Etapa 4: DeterminarF 1 x,y  N1 1 x,y.
Das equações 14 e 15, resulta que:
16 F 1 x,y  N1 1 x,y  3x,2 y, 0  0,0,1  0.
Logo, da equação 16, obtém-se:
17 
S1
F  n1 dS1  
D1
0dxdy  0.
 Cálculo da integral de superfície 
S2
F  n2 dS2  
D2
F 2 x,y  N2 2 x,y dxdy.
Etapa 1: Parametrizar a superfície S2.
Como S2 é dada explicitamentepor z  g x, y  3  x  y, então:
18 1 x,y  x,y, 3  x  y, x,y  D2,
onde a região D2 é definida por:
19 D2  x,y  2|x2  y2  4.
Etapa 2: Determinar N2 2 x,y.
Como z  g x,y  3  x  y e N2 1 x,y é a normal exterior ao sólido W, então:
20 N2 2 x,y  gx x,y,gy x,y, 1  1,1, 1.
Etapa 3: DeterminarF 2 x,y.
Da definição do campo vetorial F e da equação 18, resulta que:
21 F 2 x,y  F x, y, 3  x  y  3x,2 y, 3  x  y.
Etapa 4: DeterminarF 2 x,y  N2 2 x,y.
Das equações 20 e 21, resulta que:
22 F 2 x,y  N2 2 x,y  3x,2 y, 3  x  y  1,1, 1  2x  3 y  3.
Logo, da equação 22, obtém-se:

S2
F  n2 dS2  
D2
2x  3 y  3dxdy  
D2
2xdxdy  
D2
3 y dxdy  3  
D2
dxdy 
23 
S2
F  n2 dS2  3  Área de D  12.
Observação: As integrais duplas 
D
3x dxdy e 
D
2y dxdy são iguais a zero, pois:
 1 x,y  3x éumafunção ímparnavariável x earegião D tem simetria em relação ao eixo y;
 2 x,y  2y éumafunção ímparnavariável yearegião D tem simetria em relação ao eixo x.
 Cálculo da integral de superfície 
S3
F  n3 dS3  
D3
F 3 , z  N3 3 , z ddz.
Etapa 1: Parametrizar a superfície S3.
24 3 , z  2cos, 2 sin, z, , z  D3,
onde a região D3 é definida por:
25 D2  , z  2|      , 0  z  3  2cos  2sin.
Etapa 2: Determinar N3 3 , z.
Como N3 3 , z é a normal exterior ao sólido W, então:
26 N3 3 , z  2cos, 2 sin, 0.
Etapa 3: DeterminarF 3 , z.
Da definição do campo vetorial F e da equação 24, resulta que:
27 F 3 , z  F 2cos, 2 sin, z  6 cos,4 sin, z.
Etapa 4: Determinar F 3 , z  N3 3 , z.
Das equações 26 e 27, resulta que:
28 F 3 , z  N3 3 , z  12 cos2  8 sin2.
Logo, da equação 28, obtém-se:

S3
F  n3 dS3  
D3
F 3 , z  N3 3 , z ddz  
D3
12 cos2  8 sin2dzd 

S3
F  n3 dS3  12  

 
0
32cos2sin
dz d  20  


sin2 
0
32cos2sin
dz d 

S3
F  n3 dS3  12  


3  2cos  2sind  20  


sin2  3  2cos  2sin d 

S3
F  n3 dS3  72  0
  120  
0

sin2d  72  60  
0

1  cos2 d 
29 
S3
F  n3 dS3  72  
0

1  cos2d  72  60  0
  12.
Substituindo as equações 17, 23 e 29 na equação 11, resulta que:
30 
S
F  n dS  
S1
F  n1 dS1  
S2
F  n2 dS2  
S3
F  n3 dS3  0  12  12  24.
ii Calcular a integral tripla 
W
div F x, y, zdxdydz.
Etapa 1: Determinar o div F x,y, z.
Da definição do campo vetorial F x,y, z, obtém-se:
31 P x,y, z  3x  Px x,y, z  3;
32 Q x,y, z  2 y  Qy x,y, z  2 ;
33 R x,y, z  z  Rz x,y, z  1.
Logo, de 31-33, obtém-se:
34 div F x,y, z  3  2  1  2.
Etapa 2: Descrever o sólido W.
Pelo enunciado, obtém-se:
35 W  x,y, z  3|x,y  D, 0  z  3  x  y,
onde a região D é definda por:
36 D  x,y  2|x2  y2  4.
Das equações 34-16, resulta que:

W
div F dxdydz  2  
W
dxdyd  2  
D

0
3xy
dz dxdy 
37 
W
divF dxdydz  2  
D
3  x  ydx3y  6  Área de D  24.
Observação: As integrais duplas 
D
 xdxdy e 
D
 ydxdy são iguais a zero, pois:
 1 x,y  x éumafunção ímparnavariável x earegião D tem simetria em relação ao eixo y;
 2 x,y  y éumafunção ímparnavariável y earegião D tem simetria em relação ao eixo x.
Questão 3: 2.5 pontos
Seja F x,y, z  3x2 z  y3, 3xy2  e z,x3  ye z. Em cada um dos itens abaixo faça o que se pede,
justificando sua resposta.
a F é um campo conservativo?
b Seja C a curva de interseção da superfície do parabolóide S : z  x2  y2  4. z  1 com o pla-
no y  1. Calcule 
C
F  d, onde C é orientada no sentido anti-horário.
Solução:
a Temos que:
38 rot F  Ry  Qz,Pz  Rx,Qx  Py  e z  e z, 3x2  3x2, 3 y2  3 y2  0,0, 0.
O campovetorial F é de classe C  e, em particular de classe C 1, o domínio de F  3 que é um
conjuntosimplesmenteconexo e rot F  0,0, 0. Logo, F é uma campo conservativo, pois, satis-
faz as hipóteses do Teorema 6.6.2.
b Método 1: Construir uma curva C1.
Etapa 1: Determinar a equação da curva C.
39 z  x2  y2  4  y  1  z  x2  3.
A interseçãodassuperfícieséaparábola C comconcavidadevoltadaparacima,contidanoplanoy  1. Além disso, z  1. Então:
C :
z  x2  3, z  1,
y  1
Substituindo z  1 na equação 40, resulta que:
40 1  x2  3  x2  4  x  2.
Como y  1 e z  1, então da equação 40 e da hipótese que a curva C é orientada no sentido
anti-horário, obtém-se:
41 A  2,1,1 e 42 B  2,1,1.
Etapa 2: Parametrizar a curva C1.
Como o campo vetorial F é conservativo, por ii do Teorema 6.6.2, a integral independe do ca-
minho, então:
43 
C
F  d  
C1
F  d1.
Considereacurva C1 o segmento de retacompontos iniciale final A e B, respectivamente. Logo,
uma parametrização desta curva é dada por:
44 1 t  t,1,1,  2  t  2.
Etapa 3: Determinar 1
 t.
Da equação 44,obtém-se:
45 1
 t  1,0, 0.
Etapa 4: Determinar F 1 t.
Da definição do campo vetorial e da equação 44, resulta que:
46 F 1 t  3 t2  1,3 t  e, t3  e.
Etapa 5: Determinar F 1 t  1
 t.
Das equações 45 e 46, obtém-se:
47 F 1 t  1
 t  3 t2  1,3 t  e, t3  e  1,0, 0  3 t2  1.
Logo, da equação 47, obtém-se:
48 
C1
F  d1  
2
2
3 t2  1dt  
2
2
3 t2 dt  
2
2
dt  2  t3 0
2  2  t0
2  16  4  12.
Substituindo a equação 48 na equação 43, resulta que:

C
F  d  
C1
F  d1  12.
b Método 2: Utilizar o Teorema 6.6.3, ou seja:
49 
C
F  d  
C
 f  d  f B  f A.
Etapa 1: Determinar uma função potencial f x,y, z.
De iii do Teorema 6.6.2, existe f x,y, z tal que:
50  f x,y, z  F x,y, z 
f
x x,y, z,
f
y x,y, z,
f
z x,y, z  3x2 z  y3, 3xy2  e z,x3  ye z.
Da equação 60, obtém-se:
51
f
x x,y, z  3x2 z  y3
52
f
y x,y, z  3xy2  e z
53
f
z x,y, z  x3  ye z
Integrando a equação 51 com respeito a x, obtém-se:
54 f x,y, z  x3 z  xy3  g y, z.
Derivando a equação 54 parcialmente com respeito a y, obtém-se:
55
f
y x,y, z  3x y2 
g
y y, z.
Substituindo a equação 55 na equação 51, resulta que:
56
g
y y, z  e z.
Integrando a equação 56 com respeito a y, obtem-se:
57 g y, z  ye z  h z.
Substituindo a equação 57 na equação 54, resulta que:
58 f x,y, z  x3 z  xy3  ye z  h z.
Derivando a equação 58 parcialmente com respeito a z, obtem-se:
59
f
z x,y, z  x3  ye z  hz.
Substituindo a equação 59 na equação 53 resulta que:
x3  ye z  hz  x3  ye z 
60 hz  0.
Integrando a equação 60 com respeito a z, obtem-se:
61 h z  c.
Substituindo a equação 61 na equação 58 resulta que:
62 f x,y, z  x3 z  xy3  ye z  c.
Etapa 2: Determinar os pontos A e B.
Esta etapa foi feita no Método 1.
i Considere B  2,1,1.
Substituindo este ponto na equação 62, obtém-se:
63 f 2,1,1  23  1  2  13  1  e 1  c  6  e  c.
ii Considere A  2,1,1.
Substituindo este ponto na equação 62, obtém-se:
64 f 2,1,1  23  1  2  13  1  e 1  c  6  e  c.
Substituindo as equações 63 e 64 na equação 49, resulta que:

C
F  d  
C
 f  d  f B  f A  6  e  c  6  e  c  12.
Questão 4: 2.5 pontos
Verifiqueo teorema de Stokes, calculandoa integral de linha e a integral de superfície para o cam-
po vetorial F x,y, z  y2,x y,2x z, S épartedaesfera x2  y2  z2  1, com z  0 e n é a normal
exterior à esfera.
Solução:
Devemos provar que:
65 
C
F  d  
S
rot F  n dS.
i Calcular a integral de linha 
C
F  d.
Etapa 1: Determinar a equação curva C.
Substituindo z  0 na equação da esfera, obtém-se:
66 C : x2  y2  4.
Etapa 2: Determinar uma parametrização da curva C.
Da equação 66 e do fato que n é exterior à esfera, então, a curva C está orientada no sentido
anti-horário. Logo:
67  t  2 cos t, 2 sin t, 0, 0  t  2.
Etapa 3: Determinar  t.
Da equação 67,obtém-se:
68  t  2 sin t, 2 cos t, 0.
Etapa 4: Determinar F  t.
Da definição do campo vetorial e da equação 67, resulta que:
69 F  t  4 sin2t, 4 cos t sin t, 0.
Etapa 5: Determinar F  t   t.
Das equações 68 e 69, obtém-se:
F  t   t  4 sin2t, 4 cos t sin t, 0  2 sin t, 2 cos t, 0  8 sin3t  8 cos2t sin t 

C
F  d  8  
0
2
sin3t  cos2t sin tdt 

C
F  d  8  
0
2
 1  cos2 sin t  cos2t sin tdt  
70 
C
F  d  8  
0
2
sin t  cos2t sin t  cos2t sin tdt  8  cos t0
2  0.
ii Cálculo da integral de superfície 
S
rot F  n dS.
71 rot F  Ry  Qz,Pz  Rx,Qx  Py  0  0,0  2 z, y  2y  0,2 z,y.
Etapa 1: Parametrizar a superície S.
Como z  0,obtém-se:
72 1  0 e 73 2   / 2.
Logo, uma parametrização da superície S é dada por:
74  ,  2sincos, 2 sin sin, 2 cos, ,  D2,
onde a região D é definida por:
75 D  ,  2| 0     / 2, 0    2.
Etapa 2: Determinar o vetor norma unitário n .
Considere a superfície S como umasuperfíciedenível 4,com w  G x,y, z  x2  y2  z2. Do
fato que n é a normalexteriorà superfície S, obtém-se:
76 n 
G x,y, z
G x,y, z

2x, 2y, 2z
4x2  4y2  4z2

x,y, z
4
 x
2
,
y
2
, z
2
,
pois, x2  y2  z2  4.
Etapa 3: Calcular rot F  n .
Da definição do campo vetorial rot F e da equação 76, obtém-se:
77 rot F  n  0,2 z,y  x
2
,
y
2
, z
2
 y z  y z
2

y z
2
.
Portanto, da equação 77, resulta que:
78 
S
rot F  n dS  1
2
 
S
y z dS.
Etapa 4: CalculardS  N  , dd.
N  ,  EG  F2  a2 sin  4 sin 
79 dS  N  , dd  4 sindd.
Substituindo as equações 74 e 79 na equação 78, obtém-se:

S
rot F  n dS  1
2
 
D
16 sin2 sin cosdd  8  
0
/2
sin2 cos 
0
2
sin d d 
80 
S
rot F  n dS  8  
0
/2
 sin2 cos   cos0
2 d  0.