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Orie:ntações para responder a prova a' Em h1lbÇàn é~• sem ccmJ1C1 l\ ~ r.e Q ';MI t'\Qf'aa ~ corrwm u 1'$'~ â l'l!:SS,10SUI! S& ~ e;ro, ~ ~ ~ ce ~ ~ e ltsa. ar.:~ at,.,1 tJrW c.i:s ~~ e esitalW i ~"i ~ ~ c:ac1i Uf&.I e-ei3'3 d iA COI~ 09 ,~ ~I Qí ~ e~ o ~~n fJ3r11.,e 93 r!St:,IJSla c.ctrn1o a ~ O ei~ a:f™""'PCl-tMJi..4., -111 e n~ IDSS\JS t.a.::~o um .x na w~aDVJ t' Ulile: 'CllN:t3 cn.ta ou amJ r, A!$lM tU9 :~~ CB t«spa.sa;s 9ffl t--r.@03 til~ ~L"C a ~nn g A. ~a Ge ,~ "1c ,x:oe ~ ootira& a_~OJ ourr.mdlaaa tt Ao@m-m ~~ ~ ~ C1I Os-Cd.N ~Yt cem a (Gl'I.I OB feSPQSW' 1. Um sistema de coordenadas polares em rutelllátlca é u,m sistema em que cada ponto do plana cartesiano é wodado a um ângulo e a uma dlstinda. Utfllzanda a l!IKldança de varlávef cartesiana para polar, calcule• Integral dupla da função e, em seeul~ assinale • altemat:in CORRETA: vl + ;:,1)f) f(.i..,~) = ' Ir ç, na reglàotrJ 4- r 1 < 4. \... A. ( J 128 B. ( J 32 e. { ) 16 º-~ 6,4 2. Um dos Teorengs mais utilizados para calcula,r integrais duplas e triplas é o Teorema de Fublni, ele nos permite Inverter • ordem de lnte9raçlo. Essa mu,dança n■ ordem de lntegr■çlo pode em certas Integral• diminuir • q,uantidade da d.lculos necessirios para • resoluçio. Utilizando o Teorema de Fublnl, condu(mos que o valor da Integral: .. j ., ... L J~ f )' = s"11( r) + cos (,1) ti= d1 d,· A. ( ) É igual a 5. s. ( ) Ê Igual a - 3. e.~ ) ~iguala o. o. 'N É. tgual a 6. 3. O ratadonal 4a IAM fu~o vetorial é um campo vetorial• calcula como oa vetores de um campo vetorial se aprodmam (afutam) de um vetar normal. Com rel■~o ao romclonal, podemos afinur -.u• o rotadonal da funçio vwtorlal F T , : 1 = , , : i·1 e~ .: 1 .;: g," J e J9Ual e t ror F, = f 2-'f 3l • .: "~: ~::I f!\ ro:' F) = 1x 4 3 ,..: co:f =) ..,. 4r· If/ n,r1f1 = r 1ren•:t -4:"r o, fi."', ,-..;•( F 1 = v-1 sm(: 1 - 4::-P 1 A. ( ) Somente a opção rv está correta. !.. ( ) Somente a cpçãc li está correta. e. ( ) Somente a opçio I está correta. o. f~ Soment~ e opção UI está correta. 4. Um■ das apUcaçóea de derivada na físlca é• veloddade de uma partfcula, porém outra apllcaçlo multo ulillza,da de derivada é• reta tangente. Determine ■ reta ~nr,ente da função vetorial: - ~ ~· :-') f {t) ~~ ,-e: -·.t....> no ponto t0 =z:::.,i sabendo que a reta tangente..de f (t) no ~o r0 é dada por rtt) = f/~) .frtrr)f com t E R k ( ) A reta tangente é {2l + 3,1 + t, Bt). 8. ( ) A reta tangente é 1 + 8t e. (:.. ) A re~ tangente é 8 + 7t. o. 0-) A reta tangente é (3 + 2t, 1 + t. 4 + 4t). s·. O Teorema de Stokes é mofto similar ao Teorema de Green, a diferença entre eles é o c■mpo de vetores que estamos trabalhando, no Teorema de Green temos um campo de vetores de duas varihefs, J' no Teorema de Stokes ternos um campo de vetores de trb va~vels, lembre-se que o Teorema de Stokes é: i F dJ' = ff rar(F) n chdv r, com o rotacional ro!(FI = (ªR _ BQ 8P _ aR ôQ _ ~p). a, õ: it: rh ih ay A lntegral de linha do campo vetorial onde C e a paraboloide : = 9 - .rJ - ,.: e o plano : = O onenlado para balx:o é Igual a / l 18 rr li} 3 ,, 111, 9 n·> o A.~) Somente a opção I está correta. B. ( ) Somente a opção IV está correta. e.. ( ) Somente a opção II está correta. o. e ) Somente a opção III está correta. 6. O teorema de Gauss multas veze9 é chamado de Teorema da dlvergênda, pois transforma uma Integral de superffde de um campo vetorial em uma Integral tripla do divergente desse campo vetorial, ou seja, a Teorema de Gauss reladona duas Integrais: , ff.f 5 ,,d~ Jjf ~J.é}~ (3d:.U O Huxo extenor do campo ~tonal 7i}. i.J = ,tel z -J :-"1 a~avés da 1Mo~:iadàpela esfera .r:J/j + ~1 !: 9 é igual a /} e3 //)-12,r III) O /lf) - 3 A. e ) Somente a opção II está correta. B. ( ) Somente a opção IV está correta. e.)() Somente a opção III está correta. o. e ) Somente a opção I está correta. 7. O momento de lnircla de um corpo é o grau de dlflculdade que o corpo tem de alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de Inércia em tomo do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um disco homogêneo com centTo (O, O) e rafo fguaf a 2 e com densidade f (x, y) = 2 em tomo do ehto v: A. ( ) 18 pi, B. ( ) 12 pi. e. e > 4 pi. ºX,ª pi. 8. Se um■ partícula percorre um caminho, podemos utilizar a Integral de Unha para determinar o trabalho realizado pelo campa de forças nessa partícula. Se a p•rtícula começa no ponto (3,0), percorre ao longo do eixo: r chegando ao ponto (-3 O) e retoma até o ponto 1nic1al pelo o sem1drculo mfenor \ = + )':: = 9, então o trabalho realrzado pelo campo de forças F(x.y) = (-v3.x3 ) ê igual a /) 243 //) 81 rr ///) o ) 243rr /V -- 4 Teorema de Green f- - LJªQ ap F · d ,. = - - - d., ri)' à\· a,, 1 D A. ( ) Somente a opção I está correta. e. ( ) Somente a opção II está correta. e. e ) Somente a opção III está correta. o. ( ) Somente a opção IV está correta. 9. o trabalho realizado por um campo de forças sobre uma partícula é dado pela Integral de Unha sobre uma curva. Utilizando o Teorema de Green podemos afirmar que o trabalho (W) realizado Pb) umL artfcula ao longo do retin lo orfen;çio positiva e vértice• ~Ó), Mji (2, 3) ~•,,e campo de forças: / ~ ' r 1 , , =- 1.'t ,.. • .!t~ o ê t]Wll a J J lf =- <"" t ~ e ii l W => l i'~ - 3 t~ IJJ l W = ~e1 - 1 fGU'.le I\ '"~ ft/ = G imr:l.e A. 1\ ·o Saam.e111te 11 ~ I si corirm .. a. ,1 J ~ a op.çio m está carreta. e &' , SGmemte I opção l1 sj ameta. o. r· l SGmemte ill opção lV estã mr.rm.. 10~ O movimento de uma partícula sobre o plano no ponto (x, vl é dado por uma funçlo vetorial que llepende de tempo t em segundo•. Determine o ponto (•, y) da poslçlo lnldAI da particula e o lnst.ante de tempo q-ue a partkula está no ponta (•7, 20)1 ubendo que a funçlo mcmment.a da parti~•· é: / H l = t 3 - l.-~ t: - r't A.. ( l A l)OS'l_ao imcila-1 é o .. O) e a pa,rtiot:.a está lilO l)4MiO (-7. 28) "'1alldo t = -13 segundos. B. ( 2'<.J P. pogção 'inla!i é (33 OD e a particuLa ~ no poAo'(-"7 8 2GJ qu&,\do t = 5 segu.Rôos. C. ( } A pasiçio inkial e {-J~ 6) e a paftirula está no pcnto ( • 7. 20) qua.nda t = 10 segundos. o. 1 ~ A ,J>O.siçào in:ldal é (S, •2} e a pamcula está no poo,to ( ·7, 20) quando t = l.S 5e9undos. 11. (ENADE, 2014,) Deseja-se plntar a superftde externa e lateral de um mon.umento em forma de um paraboloide, que pode ser descrita pela equaçlo z = x• + y2 , situada na regllo do espaço de coordenadas cartesianas (x1 v, zi dada pela condição z <= 9. Os eixos COOl'denados Mtlo dimensionados em metroa e g.uta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de ,rea da superfide a ser pintada. A quantidade de tinta, em lltroa, ~ecev+-ia para se pintar a wperf(de lateral do monumento 6 dada p~la Integral dupla: o I I 0 r...Vo ltem o. e. I l Item e. .c.oc ) ftem B. O.( U kemA. J 12. (ENADI!, 20,11) Em um plano de coordenadu cartesianas xOy, representa-se urna praça de +re:a P, que possui em seu Interior um lago de 6rea 1. limitado por uma curva e fechada, suave, orientada no sentldo contrir:to ao dos ponteiros de um rel6glo. Considere que, sobre o lago, atua um campo de forças F(x,y)=(-y, x-). Supondo que T representa o trabalho realizado por F(x.,y) para mover uma partia.lia uma vez ao lon_go da curva C e que., comparando-se apenas os valores num~rlcoa du grande:zaa, • ,re■ n&o ocupada pelo lago é Igual a T/2, condul-se que: A. ( O T=4l B. ( ! T=L e. t.)ç P=iT D. ( ) P•2T