algebra linear prova2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO - UFMA
Disciplina: Álgebra Linear
Segundo exerćıcio
Atenção: Resolva exatamente 5 (cinco) questões dentre as questões abaixo.
1. Determine (F )B, em que F ∈ L(R2) é dado por F (x, y) = (x, 0) e B = {(1,−1), (1, 0)} é a base
canônica de R2.
2. (a) Seja A uma matriz fixa de Mn(R). Verifique que F : Mn(R)→Mn(R) dada por F (X) = AX−XA,
∀X ∈Mn(R) é linear.
(b) Encontre F , no caso em que A = 2In.
3. Dada a aplicação linear F : R2 → R definida por F (x, y) = x − y, determine uma base e a dimensão
do núcleo e da imagem.
4. Determine um operador linear F : R3 → R3 cuja imagem é gerada por (1, 0, 1) e (−1, 1, 2).
5. Determine um operador linear de R4 cujo núcleo é gerado por (1, 0, 1, 0) e (0, 1, 1,−1).
6. Determine a base dual da base B = {(1,−1), (3, 0)} de R2.
7. Chama-se traço de uma matriz A = (aij), quadrada de ordem n, a soma dos termos da sua diagonal
principal e o denotamos por tr(A). Assim,
tr(A) = a11 + a22 + ... + ann.
Sendo V = Mn(R), então 〈A,B〉 = tr(BtA) define um produto interno sobre V .
Considerando V = M2(R), munido desse produto interno, calcule 〈A,B〉, ‖A‖, ‖B‖, d(A,B) e o
cosseno do ângulo entre A e B , onde A e B são as matrizes A =
(
1 −1
0 0
)
e B =
(
1 0
0 −1
)
.
São Lúıs, 22 de dezembro de 2021.
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