210224 ial-matrizes

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IAL turma A 2020/2 24/02/2021
2. Operações com matrizes
Observações
1. Definição. Seja a = (a1a2 . . . an) uma linha de comprimento n, ou seja, uma matriz
1 × n, e seja, b =

b1
b2
. . .
bn
 uma coluna de comprimento n, ou seja, uma matriz n× 1.
Definimos o produto a · b como o número a1b1 + a2b2 + . . . + anbn, ou seja,
a · b = a1b1 + a2b2 + . . . + anbn.
Observamos que o produto a · b existe só quando a linha a e a coluna b tem o mesmo
comprimento.
Definição. Seja
A =

a11 a12 . . . a1`
a21 a22 . . . a2`
. . .
ak1 ak2 . . . ak`
 =

a1
a2
. . .
ak

uma matriz k × `. Seja
B =

b11 b12 . . . b1m
b21 b22 . . . b2m
. . .
b`1 b`2 . . . b`m
 = (b1b2 . . .bm)
uma matriz `×m. Aqui ai é a i-esima linha de A e bj é a j-esima coluna de B.
O produto AB das matrizes A e B é a matriz C tal que
C =

c11 c12 . . . c1m
c21 c22 . . . c2m
. . .
ck1 ck2 . . . ckm

onde cij = aibj é o produto da i-esima linha ai da matriz A e a j-esima coluna bj da matriz
B.
Observamos que o produto A/,B das matrizes A e B está definido só quando o compri-
mento de uma linha da matriz A é igual ao comprimento de uma coluna da matriz B. Ou
seja, se A é uma matriz k × ` e B é uma matriz m× n então o produto AB está definido só
quando ` = m.
2. Seja 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3
Então o sistema pode ser escrito na forma vetorial
x1
 a11a21
a31
 + x2
 a12a22
a32
 + x3
 a13a23
a33
 + x4
 a14a24
a34
 =
 b1b2
b3

1
ou na forma matricial
 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34


x1
x2
x3
x4
 =
 b1b2
b3
 .
2