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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Terceira Avaliação Presencial de Álgebra Linear I - 14/12/2019 
Gabarito 
1ª Questão.  52. 
Considere a transformação linear 22: T definida por )yx,yx()y,x(T  . 
a)  51. Encontre uma base e a dimensão do núcleo de T. 
b)  01. Encontre uma base e a dimensão da imagem de T. 
Solução. 
a) Para ),(),( TNyx  )0,0(),( yxT . 
Daí, 





0
0
yx
yx . Resolvendo o sistema encontramos x = y = 0. 
Logo,     0,0TN . 
Daí,   0dim TN e o conjunto vazio,  B , é a sua base. 
b) Pelo teorema do núcleo e da imagem, 
    22  TNdimdimTImdim - 0 = 2. 
Logo   2Im T e     1,0,0,1B é uma das para  .Im T 
 
 
2ª Questão.  52. Calcule: 
a)  0.1 O produto interno usual, ,,vu onde  2321 ,,u  e  .,,v 112  
b)  5.0 O valor de a  tal que o vetor ),a,( 2121
3 seja unitário. 
c)  0.1 O ângulo entre os vetores  10 , e  01, de 2 . 
 
Solução. 
a)       01213221  ...v,u . 
b)   2241241
2
2
1
2
1 1  aa,a, . 
c) Se  é o ângulo entre estes vetores, 
   
    .,,
,,,
cos 0
1
0
0110
0110



 
Logo 2
 . 
3ª Questão.  52. Determine a matriz da transformação linear de 2 em 2 que representa uma 
reflexão em torno da reta xy  , seguida de uma rotação de um ângulo de 45º. 
Solução. A reflexão é dada pela matriz 






01
10
A . 
A rotação de 45º é dada pela matriz










2
2
2
2
2
2
2
2
B . 
Logo, a matriz que representa a sequência é dada pela matriz produto de B por A: 










2
2
2
2
2
2
2
2
.AB 





01
10
=








2
2
2
2
2
2
2
2
. 
 
4ªQuestão.  52. Considere o operador linear 22: T tal que    yx,yy,xT  e as bases 
    1,0,2,1A e     1,0,1,1 B . 
(a)  5.1 Determine a matriz   BAT , . 
(b)  0.1 Determine a matriz mudança de base Apara a base B . 
Solução. 
(a)     1,01,1),( yxxyx  . 
Então        1011121221 ,.,.,,T  ;        1001111110 ,.,.,,T  . 
Logo,   


 01
12
B,AT . 
(b)    


 3
121 B, e    






1
0
1,0 B . Logo,   






13
01
,BAI .