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63. **Problema:** Se \( \vec{u} = 2\vec{i} + \vec{j} \) e \( \vec{v} = \vec{i} - 3\vec{j} \), qual é o 
produto escalar \( \vec{u} \cdot \vec{v} \)? 
 **Resposta:** \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -1 \). 
 **Explicação:** O produto escalar é calculado como \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + 
1 \cdot (-3) = -1 \). 
 
64. **Problema:** Qual é o valor de \( \int \sin^2 x \, dx \)? 
 **Resposta:** \( \int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \). 
 **Explicação:** Usa-se a identidade \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \) para integrar. 
 
65. **Problema:** Se \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \), qual é o vértice da parábola definida por \( f(x) 
\)? 
 **Resposta:** O vértice é \( (2, 1) \). 
 **Explicação:** O vértice de uma parábola \( ax^2 + bx + c \) é dado por \( \left( -
\frac{b}{2a}, f\left( -\frac{b}{2a} \right) \right) \). 
 
66. **Problema:** Qual é o valor de \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \)? 
 **Resposta:** \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{2} \ln |1 + 
 
 e^{2x}| + C \). 
 **Explicação:** Realiza-se a integração usando substituição e a propriedade dos 
logaritmos. 
 
67. **Problema:** Se \( \log_{10} x = 1 \) e \( \log_{10} y = 2 \), qual é o valor de \( \log_{10} 
(x^2 y^{-1}) \)? 
 **Resposta:** \( \log_{10} (x^2 y^{-1}) = 0 \). 
 **Explicação:** Usa-se a propriedade dos logaritmos \( \log_{10} (x^2 y^{-1}) = 2 - 2 = 0 
\). 
 
68. **Problema:** Qual é o valor de \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)? 
 **Resposta:** \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan x + C \). 
 **Explicação:** Esta é a integral indefinida da função \( \frac{1}{x^2 + 1} \). 
 
69. **Problema:** Se \( \sin \theta = \frac{3}{5} \) e \( \theta \) é um ângulo no segundo 
quadrante, qual é o valor de \( \cos \theta \)? 
 **Resposta:** \( \cos \theta = -\frac{4}{5} \). 
 **Explicação:** Como \( \theta \) está no segundo quadrante, o cosseno é negativo. 
 
70. **Problema:** Qual é o número de diagonais em um polígono de 12 lados? 
 **Resposta:** O número de diagonais é \( 54 \). 
 **Explicação:** Calcula-se o número de diagonais em um polígono usando a fórmula \( 
\frac{n(n-3)}{2} \). 
 
Esses são os 70 problemas resolvidos com suas respectivas respostas e explicações. 
Claro, vou gerar 100 problemas desafiadores de matemática discreta com respostas e 
explicações. Aqui estão: 
 
1. **Problema:** Quantos números distintos de 4 algarismos podem ser formados 
usando os dígitos 1, 2, 3, 4 sem repetição? 
 **Resposta:** 24 números. 
 **Explicação:** Para formar um número de 4 algarismos distintos com os dígitos dados, 
calculamos 4!, que é igual a 24. 
 
2. **Problema:** Quantos subconjuntos distintos de tamanho 3 podem ser formados a 
partir do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}? 
 **Resposta:** 10 subconjuntos. 
 **Explicação:** O número de subconjuntos de tamanho 3 é dado por combinações de 5 
elementos tomados 3 a 3, que é igual a C(5, 3) = 10. 
 
3. **Problema:** Qual é a probabilidade de que em um grupo de 6 pessoas, pelo menos 
duas façam aniversário no mesmo dia do ano? 
 **Resposta:** Aproximadamente 98%. 
 **Explicação:** Utilizando o princípio da casa dos pombos, a probabilidade é quase 
certa (próxima de 1) devido ao número limitado de dias no ano (365). 
 
4. **Problema:** Quantas funções distintas podem ser definidas de um conjunto com 4 
elementos para outro conjunto com 3 elementos? 
 **Resposta:** 81 funções.