Problemas de Matemática Discreta

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- **Resposta:** A área da região sombreada é \( 2025\pi - 1369\pi = 656\pi \) cm². 
Explicação: Calculando a área dos dois círculos e subtraindo a área de interseção. 
 
299. Determine o valor de \( x \) na equação \( \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{22} + \frac{1}{23} 
\). 
 - **Resposta:** \( x = 40000 \). Explicação: Isolando \( x \) na equação. 
 
300. Qual é o volume de um cone cuja altura é \( 94 \) cm e a área da base é \( 2116\pi \) 
cm²? 
 - **Resposta:** O volume do cone é \( 196784\pi \) cm³. Explicação: Utilizando a 
fórmula \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \). 
Entendido! Aqui estão 100 problemas de matemática discreta desafiadores, cada um 
com sua resposta e explicação: 
 
1. **Problema:** Quantos anagramas diferentes podem ser formados com as letras da 
palavra "MATEMÁTICA"? 
 - **Resposta:** \( \frac{9!}{2!2!} \) 
 - **Explicação:** A palavra "MATEMÁTICA" tem 9 letras, com 'A' e 'M' se repetindo duas 
vezes cada uma. 
 
2. **Problema:** Quantos subconjuntos de tamanho 3 podem ser formados a partir do 
conjunto {1, 2, 3, 4, 5}? 
 - **Resposta:** \( \binom{5}{3} \) 
 - **Explicação:** Calcula-se o número de combinações de 5 elementos tomados 3 a 3. 
 
3. **Problema:** Quantas funções distintas podem ser definidas de um conjunto de 5 
elementos para um conjunto de 3 elementos? 
 - **Resposta:** \( 3^5 \) 
 - **Explicação:** Cada elemento do conjunto de 5 elementos tem 3 opções de destino 
no conjunto de 3 elementos. 
 
4. **Problema:** Em quantas maneiras diferentes podemos colorir as faces de um cubo 
com 6 cores diferentes? 
 - **Resposta:** \( 6! \times 2^6 \) 
 - **Explicação:** São 6 faces que podem ser permutadas e cada face pode ser colorida 
de 6 maneiras diferentes. 
 
5. **Problema:** Quantos números de 4 dígitos distintos podem ser formados usando os 
dígitos 1, 2, 3, 4, 5 sem repetição? 
 - **Resposta:** \( 5 \times 4 \times 3 \times 2 \) 
 - **Explicação:** Para o primeiro dígito, temos 5 opções, para o segundo 4 opções, e 
assim por diante. 
 
6. **Problema:** Qual é o valor de \( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \)? 
 - **Resposta:** \( 2^n \) 
 - **Explicação:** Pelo binômio de Newton, a soma das combinações de n escolhendo k 
de 0 a n é igual a 2 elevado à n. 
 
7. **Problema:** Quantos números diferentes de 5 dígitos podem ser formados usando 
os dígitos 0, 1, 2, 3, 4 sem repetição? 
 - **Resposta:** \( 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) 
 - **Explicação:** Cada dígito pode ser escolhido sem repetir nenhum dos dígitos 
anteriores. 
 
8. **Problema:** Qual é a quantidade mínima de cores necessárias para colorir qualquer 
mapa (dividido em regiões) sem que duas regiões adjacentes tenham a mesma cor? 
 - **Resposta:** Número cromático do mapa. 
 - **Explicação:** O número cromático é o menor número de cores necessário para 
colorir um mapa de forma que regiões adjacentes não tenham a mesma cor. 
 
9. **Problema:** Quantos caminhos diferentes existem de um vértice a outro em um 
cubo se só é possível mover-se para um vértice adjacente? 
 - **Resposta:** 3 
 - **Explicação:** Em um cubo, há três caminhos distintos entre vértices opostos. 
 
10. **Problema:** Qual é o número de derivações diferentes da fórmula \( (a + b)^n \)? 
 - **Resposta:** \( \binom{n}{k} \) 
 - **Explicação:** Cada termo na expansão binomial de \( (a + b)^n \) é uma derivação 
diferente.