Prévia do material em texto

96. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela parábola \( y = x^2 \) e a linha \( 
y = 2x \). 
 **Resposta:** A área \( A \) é \( \frac{8}{3} \). 
 **Explicação:** Calcula-se a área sob a curva, subtraindo uma função da outra e 
integrando. 
 
97. **Problema:** Determine a área da região delimitada pela elipse \( \frac{x^2}{a^2} + 
\frac{y^2}{b^2} = 1 \). 
 **Resposta:** A área \( A \) é \( \pi ab \). 
 **Explicação:** A área de uma elipse é derivada utilizando a fórmula da área de uma 
circunferência. 
 
98. **Problema:** Qual é o volume de um tetraedro regular com aresta \( a \)? 
 **Resposta:** O volume \( V \) é \( \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 \). 
 **Explicação:** O volume de um tetraedro regular é um doze avos da raiz quadrada de 2 
vezes a aresta elevada ao cubo. 
 
99. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \), \( y = \ln 
x \), e as retas \( x = 1 \) e \( x = 2 \). 
 **Resposta:** A área \( A \) é \( 3 - \frac{3}{2} \ln 2 \). 
 **Explicação:** Calcula-se a área sob a curva, subtraindo uma função da outra e 
integrando. 
 
100. **Problema:** Determine o volume de uma pirâmide regular de base pentagonal 
com área da base \( B \) e altura \( h \). 
 **Resposta:** O volume \( V \) é \( \frac{5Bh}{6} \). 
 **Explicação:** O volume de uma pirâmide é um sexto do produto da área da base pela 
altura. 
Claro, aqui vão mais 50 problemas de matemática discreta desafiadores com resposta e 
explicação, sem repetir os anteriores: 
 
101. **Problema:** Qual é o valor de \( \sum_{k=1}^{20} \varphi(k^2) \)? 
 - **Resposta:** \( 242 \). 
 - **Explicação:** Aplica-se a função totiente de Euler para os quadrados dos números 
até 20. 
 
102. **Problema:** Determine o resto da divisão de \( 7^{100} \) por 101. 
 - **Resposta:** \( 97 \). 
 - **Explicação:** Usa-se o pequeno teorema de Fermat para calcular \( 7^{100} \mod 
101 \). 
 
103. **Problema:** Quantos subconjuntos não vazios de \( \{1, 2, 3, \ldots, 10\} \) têm a 
soma dos elementos múltipla de 4? 
 - **Resposta:** \( 128 \). 
 - **Explicação:** Aplica-se o princípio da inclusão-exclusão para contar subconjuntos 
desejados. 
 
104. **Problema:** Se \( a \) e \( b \) são inteiros tais que \( 7a + 15b = 1 \), determine \( a \) 
e \( b \). 
 - **Resposta:** \( a = 2 \), \( b = -1 \). 
 - **Explicação:** Usa-se o algoritmo de Euclides estendido para resolver a equação 
diofantina. 
 
105. **Problema:** Qual é o número de anagramas da palavra "MATEMATICA" que 
começam com vogal e terminam com consoante? 
 - **Resposta:** \( 907200 \). 
 - **Explicação:** Fixa-se uma vogal no início e uma consoante no final, permutando as 
demais letras. 
 
106. **Problema:** Determine o valor de \( \binom{50}{0} + \binom{50}{1} + \binom{50}{2} 
+ \ldots + \binom{50}{50} \). 
 - **Resposta:** \( 2^{50} \). 
 - **Explicação:** Aplica-se a fórmula do binômio de Newton para somar todos os 
coeficientes binomiais. 
 
107. **Problema:** Se \( p \) é um número primo ímpar, mostre que \( p^2 - 1 \) é divisível 
por 24. 
 - **Resposta:** Usa-se a fatoração e as propriedades dos números primos.