Problemas de Matemática Discreta

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88. Qual é o volume de uma esfera inscrita em um cubo de aresta 10 cm? 
 - **Resposta e Explicação:** O raio da esfera é metade da aresta do cubo. Assim, o 
volume é \( \frac{4}{3} \pi \times 5^3 = \frac{500}{3} \pi \) cm³. 
 
89. Determine a área da região triangular com vértices em (0, 0), (6, 0) e (0, 8). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( \frac{1}{2} | 0 \cdot (0 - 8) + 6 \cdot (8 - 0) + 0 
\cdot (0 - 0) | = 24 \) unidades de área. 
 
90. Qual é a medida do ângulo entre as diagonais de um losango cujos ângulos internos 
são \( 120^\circ \)? 
 - **Resposta e Explicação:** As diagonais de um losango cujos ângulos internos são \( 
120^\circ \) formam um ângulo de \( 120^\circ \). 
 
91. Encontre a área da região limitada pela curva \( y = \sqrt{x} \), o eixo \( x \) e as retas \( x 
= 0 \) e \( x = 4 \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = \frac{16}{3} \) unidades 
de área. 
 
92. Determine o volume de um cone com raio da base igual a 5 cm e altura igual a 12 cm. 
 - **Resposta e Explicação:** O volume é \( \frac{1}{3} \pi \times 5^2 \times 12 = 100 \pi \) 
cm³. 
 
93. Qual é a área da região limitada pela curva \( y = \ln x \), o eixo \( x \) e as retas \( x = 1 \) 
e \( x = 3 \)? 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( \int_{1}^{3} \ln x \, dx = 3\ln 3 - 2 \) unidades de 
área. 
 
94. Encontre a medida do ângulo entre as mãos de um relógio às 4:50. 
 - **Resposta e Explicação:** A posição relativa das mãos do relógio forma um ângulo de 
 
 \( 115^\circ \). 
 
95. Determine o volume de um cilindro cuja altura é igual ao diâmetro da base e a área da 
base é \( 36\pi \) cm². 
 - **Resposta e Explicação:** O raio da base é \( \sqrt{36} = 6 \) cm. Assim, o volume é \( 
216 \pi \) cm³. 
 
96. Qual é a área da região limitada pela curva \( y = \sin x \), o eixo \( x \) e as retas \( x = 0 
\) e \( x = \pi \)? 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = 2 \) unidades de área. 
 
97. Encontre a medida do ângulo entre as mãos de um relógio às 12:20. 
 - **Resposta e Explicação:** A posição relativa das mãos do relógio forma um ângulo de 
\( 70^\circ \). 
 
98. Determine o volume de uma pirâmide regular cuja base é um quadrado de lado 8 cm e 
altura 15 cm. 
 - **Resposta e Explicação:** O volume da pirâmide é \( \frac{1}{3} \times 8^2 \times 15 = 
320 \) cm³. 
 
99. Qual é a área da região limitada pela curva \( y = \tan x \), o eixo \( x \) e as retas \( x = 0 
\) e \( x = \frac{\pi}{4} \)? 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx = 
\ln(\sec(\frac{\pi}{4})) = \ln(\sqrt{2} + 1) \) unidades de área. 
 
100. Encontre a área da região limitada pelo círculo \( x^2 + y^2 = 25 \) que está no 
primeiro quadrante. 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( \frac{1}{4} \pi \times 25 = \frac{25}{4} \pi \) 
unidades de área. 
 
Claro, vou criar uma lista de 100 problemas de matemática discreta desafiadores para 
você, cada um com resposta e explicação. Vamos lá: 
 
1. **Problema:** Quantos subconjuntos diferentes pode-se formar a partir de um 
conjunto com 5 elementos? 
 - **Resposta:** Pode-se formar \( 2^5 = 32 \) subconjuntos diferentes. 
 - **Explicação:** Cada elemento pode estar presente ou ausente em um subconjunto, 
resultando em \( 2^5 \) combinações.