66. Problema: Qual é o valor de \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \)? Resposta: \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{2} \ln |1 + e^{...

Para resolver a integral \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \), podemos fazer a substituição \( u = e^x \), então \( du = e^x \, dx \). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \int \frac{1}{1 + e^{x} \cdot e^{x}} \, du = \int \frac{1}{1 + u^2} \, du \] Essa integral é conhecida como a integral de uma função trigonométrica, e a sua solução é \( \frac{1}{2} \ln |1 + u^2| + C \). Substituindo de volta \( u = e^x \), obtemos: \[ \frac{1}{2} \ln |1 + e^{2x}| + C \] Portanto, a resposta correta é: \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx = \frac{1}{2} \ln |1 + e^{2x}| + C \).