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- **Resposta:** \( \frac{d}{dx}(\cos(15x)) = -15\sin(15x) \). 
Entendi, vamos continuar com mais problemas de matemática discreta sem repetição: 
 
201. **Problema:** Seja \( G \) um grupo com 100 elementos. Qual é a ordem de um 
elemento não trivial de \( G \)? 
 - **Resposta e Explicação:** Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de qualquer elemento 
de um grupo divide a ordem do grupo. Portanto, a ordem de um elemento não trivial em \( 
G \) pode ser 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, ou 100. 
 
202. **Problema:** Determine o valor de \( \gcd(2048, 1924) \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilizando o algoritmo de Euclides, \( \gcd(2048, 1924) = 4 
\). 
 
203. **Problema:** Seja \( p \) um número primo ímpar. Mostre que \( p^2 - 1 \) é divisível 
por 16. 
 - **Resposta e Explicação:** Para qualquer número primo ímpar \( p \), \( p^2 - 1 = (p-
1)(p+1) \) é o produto de dois números consecutivos, um dos quais é divisível por 4 e o 
outro por 2. 
 
204. **Problema:** Quantos subconjuntos de tamanho 3 podem ser formados a partir de 
um conjunto com 6 elementos? 
 - **Resposta e Explicação:** O número de subconjuntos de tamanho 3 de um conjunto 
com 6 elementos é \( \binom{6}{3} \). 
 
205. **Problema:** Determine o valor de \( \gcd(125, 225) \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilizando o algoritmo de Euclides, \( \gcd(125, 225) = 25 \). 
 
206. **Problema:** Sejam \( a \) e \( b \) dois inteiros ímpares. Mostre que \( a^2 + b^2 \) é 
divisível por 2, mas não por 4. 
 - **Resposta e Explicação:** Para quaisquer dois inteiros ímpares \( a \) e \( b \), \( a^2 + 
b^2 \) é divisível por 2 porque é a soma de dois quadrados. No entanto, não é divisível por 
4, pois \( a^2 \equiv 1 \) e \( b^2 \equiv 1 \mod 4 \), então \( a^2 + b^2 \equiv 2 \mod 4 \). 
 
207. **Problema:** Qual é a ordem do elemento \( (1\ 2\ 3\ 4\ 5) \) no grupo de 
permutações \( S_5 \)? 
 - **Resposta e Explicação:** A ordem de \( (1\ 2\ 3\ 4\ 5) \) é 5, pois \( (1\ 2\ 3\ 4\ 5)^5 = 1 
\) e não há expoente menor que 5 que resulte em 1. 
 
208. **Problema:** Prove que a soma de um número par e um número ímpar é ímpar. 
 - **Resposta e Explicação:** A soma de um número par \( 2m \) e um número ímpar \( 
2n + 1 \) é \( 2m + 2n + 1 = 2(m + n) + 1 \), que é ímpar. 
 
209. **Problema:** Qual é o número cromático do grafo bipartido \( K_{3,3} \)? 
 - **Resposta e Explicação:** O número cromático de \( K_{3,3} \) é 2, pois é possível 
colorir os vértices com 2 cores diferentes de modo que vértices adjacentes tenham cores 
diferentes. 
 
210. **Problema:** Determine o valor de \( \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + 
\cdots + \binom{n}{n} \). 
 - **Resposta e Explicação:** Pelo binômio de Newton, \( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 
2^n \). 
 
211. **Problema:** Mostre que \( 7^n \) termina com o algarismo 7 para todo inteiro 
positivo \( n \). 
 - **Resposta e Explicação:** A demonstração pode ser feita por indução matemática. 
 
212. **Problema:** Quantas maneiras diferentes existem de distribuir 10 bolas idênticas 
em 4 caixas distintas? 
 - **Resposta e Explicação:** Utilizando o método das estrelas e barras, o número de 
maneiras é \( \binom{13}{3} \). 
 
213. **Problema:** Seja \( G \) um grupo com 100 elementos. Qual é a ordem de um 
elemento não trivial de \( G \)? 
 - **Resposta e Explicação:** Pelo Teorema de Lagrange, a ordem de qualquer elemento 
de um grupo divide a ordem do grupo. Portanto, a ordem de um elemento não trivial em \( 
G \) pode ser 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, ou 100. 
 
214. **Problema:** Determine o valor de \( \gcd(2048, 1924) \). 
 - **Resposta e Explicação:** Utilizando o algoritmo de Euclides, \( \gcd(2048, 1924) = 4 
\).