Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equipe de Elaboração 
Instituto Mineiro de Formação Continuada 
 
 
Coordenação Geral 
Ana Lúcia Moreira de Jesus 
 
 
Gerência Administrativa 
Marco Antônio Gonçalves 
 
 
Professor-autor 
Mestre Paulo Vitor de Campos Souza 
 
 
Coordenação de Design Instrucional do Material Didático 
Eliana Antonia de Marques 
 
 
Diagramação e Projeto Gráfico 
Cláudio Henrique Gonçalves 
 
 
Revisão 
Ana Lúcia Moreira de Jesus 
Mateus Esteves de Oliveira 
 
 
ZAYN –Instituto Mineiro de Formação 
Continuada 
Travessa Antônio Olinto, 33 – Centro 
Carmópolis de Minas – MG 
CEP: 35.534-000 
TEL: (31) 9 8844-2523 (37) 3333-2233 
 
contato@institutozayn.com.br 
 
Matemática Financeira 
Apresentação 
Boas-vindas! 
É com grande satisfação que o ZAYN – Instituto Mineiro de Formação 
Continuada agradece por escolhê-lo para realizar e/ou dar continuidade aos seus 
estudos. Estamos empenhados em oferecer todas as condições para que você alcance 
seus objetivos, rumo a uma formação sólida e completa, ao longo do processo de 
aprendizagem por meio de uma fecunda relação entre instituição e aluno. 
Desse modo, prezamos por um elenco de valores que colocam o aluno no centro 
de nossas atividades profissionais. Temos a convicção de que o educando é o principal 
agente de sua formação e que, devido a isso, merece um material didático atual e 
completo, que seja capaz de contribuir singularmente em sua formação profissional e 
cidadã. Some-se a isso também, o devido respeito e agilidade de nossa parte para 
atender à sua necessidade. 
Cuidamos para que nosso aluno tenha condições de investir no processo de 
formação continuada de modo independente e eficaz, honrando pela assiduidade e 
compromisso discente. 
 Com isso, disponibilizamos uma plataforma moderna capaz de oferecer a você 
total assistência e agilidade na condução das tarefas acadêmicas e, em consonância, a 
interação com nossa equipe de trabalho. De acordo com a modalidade de cursos on-
line, você terá autonomia para formular seu próprio horário de estudo, respeitando os 
prazos de entrega e observando as informações institucionais presentes no seu espaço 
de aprendizagem virtual. 
Por fim, ao concluir um de nossos cursos de Doutorado, Mestrado, pós-
graduação, segunda licenciatura, complementação pedagógica e capacitação 
profissional, esperamos que amplie seus horizontes de oportunidades e que tenha 
aprimorado seu conhecimento crítico a cerca de temas relevantes ao exercício no 
trabalho e na sociedade que atua. Ademais, agradecemos por seu ingresso ao ZAYN e 
desejamos que possa colher bons frutos de todo o esforço empregado na atualização 
profissional, além de pleno sucesso em cada etapa da sua formação ao longo da vida. 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os bravos sempre serão 
reconhecidos pela sua vontade de 
vencer sem passar por cima das 
pessoas de bem. 
 
Paulo Vitor de Campos Souza 
 
OBJETIVOS 
 
Proporcionar aos acadêmicos uma formação no conhecimento, interpretação, e 
aplicação da Matemática Financeira no curso de Matemática e no mercado financeiro, 
possibilitando uma interação e relação entre os conteúdos que serão trabalhados e a 
cotidiano do educando. 
 
Matemática Financeira 
 
METODOLOGIA: 
Aula expositiva, com auxílio de recursos multimídia, a fim de trabalhar as ideias e 
conceitos da matemática Financeira. Trabalho de pesquisa, com o intuito de estimular 
o acadêmico a pesquisar e relacionar teoria e prática, bem como análise de textos e/ou 
notícias que envolvam o mercado financeiro. 
 
Organização do conteúdo: 
Prof. M. Paulo Vitor de Campos Souza 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
ZAYN 
EMENTA: 
Porcentagem. Juros simples. Operações 
sobre mercadorias. Desconto simples. 
Juro composto. Desconto composto. 
Capitalização e Amortização compostas. 
Empréstimos. 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
1.0 Juros Simples 
1.1 Taxa 
1.2 Diagrama do Fluxo de Caixa 
1.3 Regimes de Capitalização simples 
1.4 Montante 
1.5 Taxas Proporcionais 
1.6 Juros comerciais e juros exatos 
1.6 Desconto Simples 
1.7 Equivalência de Capitais 
 
2.0 Juros Composto 
2.1 Taxas nominal, efetiva e real 
2.2 Taxas equivalentes 
2.3 Desconto composto 
2.4 Equivalência de Capitais 
2.5 Séries de Pagamentos 
 
3.0 Sistemas de Amortização 
3.1 Sistema Francês de amortização 
3.2 Sistema de amortização Constante 
 
7 
 
 
Matemática Financeira 
SUMÁRIO 
 
 
 
1.0 Juros Simples ............................................................................................................................... 8 
1.1 Taxa ............................................................................................................................................... 10 
1.2 Diagrama do Fluxo de Caixa ................................................................................................... 10 
1.3 Montante ...................................................................................................................................... 11 
1.4 Regime de Capitalização simples. ........................................................................................ 12 
1.5 Taxas Proporcionais ................................................................................................................. 14 
1.6 Desconto Simples ..................................................................................................................... 17 
1.7 Equivalência de Capitais ......................................................................................................... 19 
2.0 Juros Compostos ...................................................................................................................... 21 
2.1 Taxas nominal, efetiva e real ............................................................................................. 23 
2.2 Taxas equivalentes ................................................................................................................... 24 
2.3 Desconto composto ............................................................................................................ 25 
2.4 Equivalência de Capitais e capitalização composta. ....................................................... 26 
2.5 Séries de Pagamentos ............................................................................................................. 26 
3.0 Sistemas de Amortização ........................................................................................................ 28 
3.1 Sistema Francês de amortização (PRICE) .......................................................................... 28 
3.2 Sistema de amortização Constante (SAC) .......................................................................... 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
Matemática Financeira 
1.0 Juros Simples 
Nesse capítulo serão apresentados os principais conceitos ligados aos juros simples. O 
mercado financeiro atua de maneira a aumentar o dinheiro de investidores ou cobrar por 
atrasos de serviços prestados pelos entes financeiros através do acrécimo de valores. Esses 
valores são chamados de juros. 
Na matemática financeira existem duas abordagens dos juros e nesse primeiro momento 
estudaremos a abordagem mais simples. 
 
 
 
Já imaginou como uma instituição financeira cobraria por compensações financeiras 
se ela não pudesse utilizar recursos de atualização monetária? 
 
Na abordagem dos juros simples é considerado o contexto dos principaisvalores a serem 
coletados para o cálculo de acréscimos pertinentes ao contexto econômico financeiro 
avaliado. Para tal existem fatores que não podem ser desconsiderados: 
C- capital. O valor principal dentro de um contexto analisado. Pode representar um valor de 
dinheiro a ser aplicado, o valor de um bem ou serviço que será aplicado dentro do cálculo dos 
juros simples. Expressa em valores monetários (R$). 
i- taxa de juros. Representa o valor a ser acrescido dentro do capital em um certo período de 
tempo. Indicada na relação percentual no tempo (% a.período) 
 
t- tempo. Expressa valores ligados a periodicidade de avaliação do contexto financeiro. Ele 
determina o prazo necessário para suas avaliações e contextualizações financeiras. Expressa 
em unidades de tempo conhecidas: dia, mês, ano, semestre, bimestre. 
J- Juros: o acréscimo recorrente de uma transação financeira que possui taxa de juros. Seu 
valor é dado em moeda corrente da análise (R$) 
Quando esses três contextos estão presentes em uma análise financeira temos o que é 
chamado o juros simples, que pela sua definição: os juros simples é o valor monetário que 
uma pessoa, empresa ou entidade financeira terá ao realizar uma transação financeira 
utilizando seu capital, que será aplicado a uma taxa de juros em um determinado prazo de 
tempo. A partir desse conceito podemos inferir que a fórmula dos juros simples é: 
𝐽 =
𝐶∗𝑖∗𝑡
100
 (1) 
9 
 
 
Matemática Financeira 
Na equação 1 podemos constatar que os juros simples são calculados através da 
multiplicação entre o capital, o valor da taxa de juros e o tempo a ser aplicado, onde esse 
resultado é dividido por 100. Essa divisão por 100 é devida ao conceito de porcentagem (por 
cem), portanto ao utilizar uma taxa de juros de 5 % ao mes você terá o valor de 5 dividido por 
100. 
 
 
 
Para o cáclulo correto dos juros simples, a unidade de tempo e a taxa de juros devem 
ser iguais. Por exemplo, se sua taxa de juros simples é de 4 % ao ano, você deve 
obrigatoriamente ter o tempo utilizado no cálculo expresso em anos. 
 
Ao calcular os juros simples você deve primeiramente: 
1. Coletar as informações pertinentes do problema. 
2. Identificar se todos os fatores estão apresentados no problema. 
3. Verificar se existem taxas de juros simples e prazos de aplicação na mesma unidade 
de tempo. 
4. Efetuar os cálculos. 
Após a identificação desses quatro fatores basta aplicar a fórmula e encontrar os valores dos 
juros. 
 
 
Qual o valor dos juros que serão obtidos por uma pessoa que aplicar R$ 1.000,00 a 
uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 7 meses? 
 
Primeiro devemos identificar os termos presentes no enunciado: 
C= R$ 1.000,00 
i= 5 % ao mês 
t= 7 meses. 
 
Depois verificamos se o tempo e a taxa de juros estão na mesma unidade de tempo. 
Como as duas estão em meses, podemos continuar com os cálculos. 
Agora basta aplicar a fórmula dos juros simples. 
 
J= 
1000∗5∗7
100
 J=
35000
100
  J= 350 
 
Portanto a resposta para o problema proposto é de R$ 350,00 
 
10 
 
 
Matemática Financeira 
1.1 Taxa 
A taxa é um conceito referente a ligação de dois termos. Existem diversos tipos de taxas, 
porém na matemática financeira ela está ligada a relação entre porcentagem e tempo. Esses 
dois fatores são responsáveis por explanar alterações temporais baseadas em contextos 
percentuais. Por exemplo uma taxa de juros de 5 % a.m significa que a cada mês será aplicado 
a um valor cinco porcento dele. Nessa definição é que os agentes governamentais e 
financeiros utilizam os valores para aumentar o capital do investidor. 
 
 
 
Nos problemas de matemática financeira, as representações de juros simples e juros 
compostos se dão pela abreviação do tempo na composição da taxa de juros. Por 
exemplo, uma taxa de 7 porcento ao ano é expressa assim: 7% a.a. 
Veja alguns exemplos: 
1,2 % a.m (mês) 
5,8 % a.sem (semana) 
6,8 % a.s (semestre) 
2,8 % a.t (trimestre) 
6,9 % a.b (bimestre) 
1.2 Diagrama do Fluxo de Caixa 
Ao calcularmos os juros simples, podemos representar a sua organização lógica através de 
gráficos que identificam elementos financeiros no tempo. Esses recursos visuais são 
chamados de diagramas de fluxo de caixa, pois permitem identificar o tempo de um 
investimento, sua taxa de juros envolvida e o capital presente. 
Esse fluxo de caixa possui uma convenção: se existem setas apontando para cima, significa 
que aquele valor foi recebido pela pessoa, portanto ele é positivo. Já se a seta apontar para 
baixo, ele é um valor que foi pago pela pessoa, portanto negativo. A junção desses valores 
positivos e negativos, aplicados a uma taxa de juros, sempre indicada no diagrama de fluxo 
de caixa, permitem o cálculo dos juros simples finais. O tempo é representado através da 
quantidade numérica expressa na reta. A figura 1 exemplifica um fluxo de caixa com valores 
posivos, negativos e identificação de uma quantidade de tempo. 
 
 
Figura 1- Exemplo de diagrama de fluxo de caixa. 
Fonte: https://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/diagramas-de-fluxo-de-caixa.html 
11 
 
 
Matemática Financeira 
No fluxo de caixa, podemos identificar alguns contextos importantes, tanto para o juros 
simples, quanto para os juros compostos. O valor presente no gráfico, no chamado tempo 0, 
que na figura 1 é o valor de 800, podemos chamá-lo de investimento inicial ou de valor 
presente. Os valores indicados na seta, acrescidos dos juros são chamados de valores 
futuros. 
 
1.3 Montante 
 
O montante é o valor final de uma operação que envolve juros. Ele está ligado a conceitos 
que envolvem o valor do capital juntamente com o valor total obtido pelos juros. Sua fórmula 
parte da essência dos seguintes conceitos. 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 (2) 
Portanto se você possui um capital de R$ 2.000,00 e tem um valor de juros totais obtidos em 
uma transação de R$ 450,00 você tem o montante de M= 2000+450= R$ 2.450,00. 
Com o valor do montante é possível descobrir qual o valor total que um investidor terá em 
mão ao final do período de seu investimento. 
Outra fórmula de representar o montante é sobstituindo a fórmula dos juros para encontrar o 
montante de forma mais rápida e dinâmica. Substituindo o valor da equação 1 na equação 2, 
temos: 
M= C(1+ i*t) (3) 
onde i e t devem estar na mesma unidade de tempo e nesse caso o valor de i deve ser dividido 
por 100. 
 
 
Para o primeiro exemplo estudado na apostila, temos que o montante será? 
C=R$ 1.000,00 
J= R$ 350,00 
M= 1000+350= R$ 1.350,00 
 
Deseja ver mais aplicações de cálculos diretos de montante de juros simples? 
Acesse: http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/juros-
simples.html 
 
12 
 
 
Matemática Financeira 
1.4 Regime de Capitalização simples. 
O regime de capitalização simples é a forma em que se verifica o crescimento do capital 
aplicado a ele juros simples. Na capitalização a juros simples, podemos verificar que o capital 
cresce de acordo com um pensamento linear, isto é, todos os ganhos serão iguais durante o 
tempo de aplicação, portanto nos períodos presentes considera-se que o capital investido, 
também chamado de valor presente sempre terá o mesmo valor de juros no período analisado. 
 
 
 
Na capitalização simples os ganhos obtidos com juros são sempre os mesmos e são 
somados a cada período ao valor inicialmente disponibilizado. Para tal, veja a 
situação a seguir: 
 
Veja que os juros são sempre iguais, pois ele é sempre calculado no mesmo valor 
presente (que também pode ser chamado de capital). 
 Sua fórmula de calcular é extremamente simples. Baseada na fórmula dos juros simplesbasta aplicar a cada um dos períodos o cálculo dos juros simples e verificar o total obtido no 
final do período. 
 
 
Determine o montante produzido por um capital de R$ 10.000,00, aplicado à taxa de 
5% a.m., durante três meses, pelo regime de capitalização simples. 
Resolução: 
Para resolver este problema, basta aplicar as fórmulas de determinação do juros e do 
montante 
J = 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑡/100 e M = C * (1 + i * t) 
Vamos calcular os juros produzidos em cada um dos períodos, isto é, em cada mês: 
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Matemática Financeira 
 
 
Observe que o total de juros será a soma dos juros produzidos em cada mês, isto é, 
R$ 1.500,00. Agora, vamos calcular o montante ao final de cada um dos períodos: 
 
 
Observe que o montante final, ao fim dos três meses, é igual à soma do capital com 
os juros totais, isto é, R$ 11.500,00. 
Veja a evolução dos juros e do montante ao final de cada mês na tabela a seguir: 
Capitalização Simples ou Linear 
 Juros Montante 
Inicialmente 0 R$ 10.000,00 
1º mês R$ 500,00 R$ 10.500,00 
2º mês R$ 500,00 R$ 11.000,00 
3º mês R$ 500,00 R$ 11.500,00 
Total Final R$ 1.500,00 R$ 11.500,00 
Para facilitar a compreensão, veja o fluxo de caixa para o regime de capitalização 
simples: 
 
Fonte: http://www2.anhembi.br/html/ead01/mat_financeira/site/lu02/lo3/index.htm 
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1.5 Taxas Proporcionais 
As taxas de juros simples proporcionais são aquelas aplicadas a cálculo de juros simples onde 
a divisão de uma taxa por períodos menores irá apresentar dentro da soma dos períodos o 
mesmo valor. Simplificando, para a obtenção de uma taxa mensal de um investimento que 
rende 12% ao ano, simplesmente dividimos os 12% pelos 12 meses verificando então uma 
taxa proporcional de 1% ao mês. Para tal é fundamental conhecer a relação entre a taxa que 
você possui e a taxa que você deseja encontrar. Por exemplo, quantos meses tem em um 
semestre? Quantos dias tem em um mês? Para encontrar as taxas proporcionais essas 
relações devem ser bem claras em seu estudo. 
 
 
Duas taxas i1 e i2, com os respectivos períodos n1 e n2 medidos na mesma unidade 
de tempo, são ditas proporcionais quando obedecerem à seguinte relação: 
i1/n1 = i2/n2 
 
 
 
 
Existem diversas formas de utilizar a conversão de tempo. Porém existem alguns 
padrões que se fixados auxiliam na determinação de relações. 
 
1 ano tem: 
 
2 semestres 
4 trimestres 
6 bimestres 
12 meses 
360 dias para cálculos bancários e 365 dias para cálculos reais. 
 
1 mês tem: 
 
4 semanas ( cálculos bancários) 
30 dias (cálculos bancários e financeiros) 
 
 
 
Para encontrar uma taxa de período maior, quando se tem uma taxa de período menor 
você deve multiplicar os valores pela relação de tempo. 
Ex: Qual será a taxa de juros simples semestral que é proporcional a 2% a.m? 
Para saber a taxa proporcional nesse caso, nós temos uma taxa de tempo menor 
(mês) em relação ao que desejamos encontrar (semestre). Portanto devemos saber 
qual a relação entre meses e semestres. Sabemos que em um semestre existem 6 
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Matemática Financeira 
meses. Portanto devemos multiplicar a taxa mensal por 6, onde encontramos que 2% 
a.m é igual a 12% a.s. 
Se fosse o contrário nessa relação (tivéssemos a taxa semestral e desejássemos 
encontrar a taxa mensal) deveríamos dividir por 6 o valor da taxa semestral para 
encontrar sua taxa proporcional em meses. 
 
1.6 Juros comerciais, juros exatos e juros bancários 
A forma como os juros são calculados em suas transações financeiras dizem muito sobre a 
forma de rentabilidade de seu negócio. Portanto é importante esclarecer as principais formas 
de abordagens dos juros utilizados no mercado financeiro. 
O chamado juro exato a contagem do número de dias (n) se faz utilizando o ano civil (aquele 
que é representado no calendário). Ele leva em consideração o mundo real e a contagem 
correta de todos os elementos presentes, incluindo, dias, semanas etc. Portanto, dada uma 
taxa anual (ianual), os juros (J) produzidos por um capital (C), durante n (número de dias 
contados no calendário do ano civil) dias, serão dados por: 
J = C . ianual . n/365 (4) 
 
Sobre o tempo n, são feitas algumas observações importantes: 
 
1. O número de dias (n) deve ser contado no calendário, portanto você deve saber o 
número exato de dias de cada mês do calendário; 
 
2. Caso o ano seja bissexto , a divisão na expressão acima será feita por 366 e não 
por 365, já que o ano bissexto tem um dia a mais. 
 
O juro comercial faz a contagem do número de dias utilizando o ano comercial (1 ano = 360 
e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro). Para o caso de juro comercial: 
J = C . ianual . n/360 (5) 
 
Já o juro bancário faz a contagem do número de dias (n) através do calendário ano 
civil, mas o juro diário é calculado utilizando o ano comercial. Para o caso do juro bancário: 
J = C . ianual . n/360 (6) 
Onde n = no de dias contados no calendário do ano civil. 
16 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
Para os devidos fins desse exemplo, considere o seguinte problema proposto. 
Quais os juros de um investimento que ao ser aplicado R$ 1.000,00 em um período 
de 01 de janeiro de 2017 até 01 de fevereiro de 2017 a uma taxa de juros mensal de 
10 %? 
J = ? 
i = 10% a.a. 
t = número de dias entre 01/01/07 e 01/02/17 
C = 1.000 
Aplicando juro exato ao nosso problema, os juros seriam (Contando dias exatos e o 
ano com 365 dias): 
t= 32 dias 
i=0,10 
J= 1000 * 0,10 * 32/365 
J= R$ 8,76 
Nos juros bancários o nosso problema ao nosso problema seria formulado assim 
(dias contados exatos e ano com 360 dias): 
t= 32 dias 
i=0,10 
J= 1000 * 0,10 * 32/360 
J= R$ 8, 88 
Nos juros comerciais ao nosso problema ( dias contatos de calendário comercial): 
t= 30 dias 
i=0,10 
J= 1000 * 0,10 * 30/360 
J= R$ 8, 33 
 
 
 
17 
 
 
Matemática Financeira 
1.6 Desconto Simples 
 
 
 
Estudar alguns conceitos referentes aos descontos simples são fundamentais para 
o aprendizado do conceito, portanto verifique esses elementos a seguir que são 
fundamentais para a contextualização do problema. 
 
 Duplicata: papel emitido por pessoas jurídicas contra clientes físicos ou 
jurídicos, especificando vendas de mercadorias com prazo ou prestação de 
serviços a serem pagos mediante contrato firmado entre as partes criando 
uma relação comercial de dívida entre os entes envolvidos. 
 Nota promissória: título que comprova uma aplicação com vencimento 
determinado. Este produto é muito utilizado entre pessoas físicas e ou 
pessoas físicas e instituições financeiras credenciadas. 
 Letra de câmbio: como a promissória, é um título que comprova uma 
aplicação com estabelecimento prévio do vencimento. No caso da letra, o 
título ao portador somente é emitido por uma instituição financeira 
credenciada. 
 
Para descontar os valores presentes nos documentos acima, deve-se levar em conta 
alguns fatores fundamentais: 
 
 Dia do vencimento: o dia estabelecido para vencimento do título. 
 
 Tempo ou prazo: diferença entre o dia do vencimento e o dia da negociação. 
Essa diferença costuma ser definida em dias. 
 
 Valor nominal: valor mostrado no título e que deve ser pago no dia do 
vencimento. 
 
 Valor atual: valor a ser pago ou recebido em data anterior ao vencimento. 
Comumente efetuado com desconto. 
 
Ao falarmos de descontos estamos agregando valor ao mercado financeiro que estabelece 
relações de dívidas entre um ente financeiro com outro ente do mercado. Essa relação permite 
a emissão de títulos de dívidas aos quais essas obrigações podem gerar fatores financeiros 
importantesna contextualização da transação financeira envolvida na compra de produtos ou 
serviços. Nessa relação de compromissos financeiros entre os envolvidos pode-se adiantar o 
pagamento da dívida, permitindo ao elemento que antecipou o pagamento obter um 
abatimento no valor a ser pago. 
Uma operação financeira entre dois agentes econômicos é normalmente documentada por 
um título de crédito comercial, devendo esse título conter todos os elementos básicos da 
operação correspondente. 
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Matemática Financeira 
O problema do desconto surge quando o detentor de um título de crédito necessita transformá-
lo em dinheiro antes da data do vencimento; nesse caso, ele poderá negociar com um agente 
financeiro que lhe antecipará um valor inferior ao valor nominal. A diferença entre o valor 
nominal do título e o valor pago por ele, numa certa data (anterior a data do vencimento), é o 
que se chama desconto. Assim, 
D = VF − VP (7) 
 
onde: D= desconto, VP valor nominal do título (no vencimento); VP valor atual do título 
(pago pelo Agente Financeiro). 
 
No sistema financeiro, as operações de empréstimo são muito utilizadas pelas pessoas, tais 
movimentações geram ao credor um título de crédito, que é a justificativa da dívida. Esses 
títulos possuem datas de vencimento pré-determinadas, mas o devedor tem o direito de 
antecipar o pagamento; caso isto aconteça, um abatimento chamado de desconto é efetuado. 
A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro 
de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor 
atual. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa 
e a determinado período de tempo. 
Embora seja frequente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos, 
claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período 
da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto à taxa do período 
incide sobre o seu montante ou valor futuro. 
De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e 
composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponencial no caso 
do desconto composto. 
O desconto é dividido em Desconto Racional (por dentro) e Desconto Comercial (por fora). 
Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes do 
vencimento, ou seja, é o mesmo que juro simples. Ele não é tão aplicado no Brasil. Sua 
fórmula é dada por: 
Dr = M – C (8) 
Onde Dr = Desconto Racional 
Como C = M /(1+i.t). Temos que o desconto racional pode ser dado pela fórmula de: 
 Dr=M *i*t/(1+1*t) (8) 
O desconto comercial simples (também conhecido como desconto bancário) é aquele em que 
a taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de 
maneira ampla e generalizada, principalmente nas chamadas operações de “desconto de 
duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por desconto 
bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de 
desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja: 
19 
 
 
Matemática Financeira 
D = M.i.t (9) 
Onde i representa a taxa de desconto e t o prazo. 
E para se obter o valor presente (C), também chamado de valor descontado, basta subtrair 
o valor do desconto do valor futuro do título, como segue: 
C = M – D (10) 
Daí vem que: C = M – M.i.t. Fazendo as devidas substituições. 
C = M*(1. –.i.t) (11) 
Acompanhe o exemplo a seguir para facilitar seu aprendizado acerca dos contextos de 
descontos. 
 
Um boleto de R$ 5.500,00 com vencimento para 5 meses foi antecipado com taxa de 
desconto simples comercial de 3 %a.m. Calcule o valor do desconto e o valor atual. 
Solução do exercício: nesse exercício todos os dados necessários para calcular o 
desconto diretamente pela fórmula foram dados: valor nominal, taxa de desconto e o 
prazo. Foi informado também que o desconto é comercial. Vamos aplicar a fórmula: 
D = M.i.t 
D=5.500 * 0.03 * 5  R$ 825,00 
Calculamos que o desconto foi de R$825,00. Agora vamos calcular o valor atual 
utilizando a fórmula geral do desconto. 
C = M – D 
C=5.500 -825  4675 
O valor atual (valor adiantado) foi de R$ 4.675,00. 
 
 
1.7 Equivalência de Capitais 
 
Comparar capitais é uma tarefa comumente realizada junto ao mercado financeiro. Dois (ou 
mais) capitais, com datas de vencimento diferentes, são ditos capitais equivalentes quando, 
transportados para uma mesma data, a mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais. 
Para tal você deve definir datas e taxas que sejam correspondentes para realizar as 
transformações. Em casos gerais você pega o montante (valor futuro) e traz ele para o valor 
presente, permitindo encontrar o valor de capital na data atual. 
20 
 
 
Matemática Financeira 
 
A data para a qual os capitais serão transportados é chamada data focal. No regime de juros 
simples, a escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto significa que definida 
uma taxa de juros, e a forma de calculo (se racional ou comercial), dois capitais diferentes, 
em datas diferentes, podem ser equivalentes, se transportados para outra data, mesmo 
mantendo-se todas as outras condições do problema. (PARENTE, 1996). Como o tipo de 
desconto utilizado no Brasil é o comercial, somente abordaremos a equivalência dos capitais 
baseados no regime comercial. Para tal existe a diferença entre a data analisada e a data ao 
qual se deseja comparar o capital. Para tal utiliza-se: 
Quando a data de equivalência for no futuro, devemos capitalizar os títulos, conforme a 
fórmula abaixo: 
M = C / (1 - i.t) (12) 
Já quando a data de equivalência for no passado, devemos descapitalizar os títulos, conforme 
abaixo: 
C = M (1 - i.t) (13) 
Onde M = valor nominal; C = valor atual; i = taxa; t = número de períodos que foram 
capitalizados. 
 
 
 
Temos um título de valor R$ 500,00 no primeiro mês, e desejamos trocá-lo por um 
título que vencerá no segundo mês. A taxa de juros é de 20% ao mês. Qual o valor 
do novo título? 
 
Como a data é no futuro, devemos usar a fórmula 12. Pois queremos saber qual será 
o montante no futuro. A taxa de juros simples é igual tanto atualmente, quanto no 
futuro. O valor do montante atual é de 500 reais. O tempo atual é no mes 1 e o tempo 
posterior é o mês 2, portanto. 
C atual= C posterior 
M atual / (1 - i atual.t atual)= M posterior / (1 – iposterior.t iposterior) 
500 . (1 - 0,2 . 2) = M posterior . (1 + 0,2 . 2) 
300 = M posterior * 1,4 
M posterior = 
300
1,4
  214,29 
 
21 
 
 
Matemática Financeira 
2.0 Juros Compostos 
No mercado financeiro atual utiliza-se uma única definição para o cálculo dos juros. Eles são 
chamados de juros de mercado pois o componente de tempo é previsto em todo o resultado 
de períodos anteriores. Nos juros simples o cálculo é sempre feito dentro da incidência da 
taxa de juros no valor do capital inicialmente aplicado, nunca sendo alterado. Nos juros 
compostos, o valor do montante de um período será o valor do capital do período posterior na 
série de cálculos. Portanto existe o que é conhecido como juros sobre juros. Para tal a 
diferença básica é que a cada período de tempo atual é multiplicado o valor total do período 
anterior juntamente com a taxa de juros, fazendo com que o tempo tenha características 
exponenciais. A fórmula do cálculo dos juros compostos é baseada na equação 3 e modificada 
pela incidência do tempo de formaexponencial: 
 
M= C(1+ i)t (14) 
Como o tempo é calculado na forma de potência, nos juros compostos podemos definir que o 
crescimento do montante é muito elevado conforme o tempo também se eleva. Para entender 
melhor os conceitos de juros compostos, veja o passo a passo dos valores envolvidos na 
transação de uma aplicação de 500 reais durante 8 meses a uma taxa de juros composta de 
1 % a.m. 
 
Figura 2- Cálculo do investimento de 500 reais durante 8 meses a juros compostos. 
Fonte: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/juros-compostos.htm 
 
 
Calcule o valor do montante obtido por um investimento de R$ 12.000,00 aplicados 
durante 24 meses a uma taxa anual de 12 %. 
 
O primeiro passo para resolução de um problema de juros compostos é também 
verificar se as taxas de juros e o tempo utilizado no problema proposto estão 
adequados e na mesma unidade. Nesse caso temos uma taxa anual de 12% e 24 
meses que o investimento ficou aplicado. Nos juros compostos é bem mais fácil 
converter o tempo. Para tal podemos inferir que 24 meses equivalem a 2 anos , pois 
um ano tem 12 meses. 
Aplicando na fórmula: 
M= 12.000 *(1 + 0,12)2 
22 
 
 
Matemática Financeira 
M=12.000 *(1.12) 2 
M=12.000* 1,2544 
M= R$ 15.052,80 
 
Determine o montante gerado pela aplicação de um capital de R$ 7.000,00 durante 
um ano a uma taxa de 3% ao mês. 
 
C: 7.000 
t: 1 ano = 12 meses 
i: 3% = 3/100 = 0,03 
 
M = 7.000 * (1 + 0,03)12 
M = 7000 * (1,03)12 
M = 7000 * 1,425761 
M = R$ 9.980,82 
 
Qual o capital que, aplicado durante 8 meses, gerou um montante de R$ 9.575,19 a 
uma taxa de 1,5% ao mês? 
M: 9.575,19 
i: 1,5% = 1,5/100 = 0,015 
t: 8 meses 
 
9.575,19 = C * (1 + 0,015)8 
9.575,19 = C * (1,015)8 
9.575,19 = C * 1,126493 
C = 9.575,19 / 1,126493 
C = 8.500,00 
 
Qual o montante gerado pelo capital de R$ 1.500,00 aplicados durante 6 meses, a 
uma taxa de 2% ao mês? 
 
Temos: 
C: 1.500 
i: 2% = 2/100 = 0,02 
t: 6 
 
M = 1.500 * (1 + 0,02)6 
M = 1.500 * (1,02)6 
M = 1.500 * 1,126162 
M = 1.689,24 
 
23 
 
 
Matemática Financeira 
2.1 Taxas nominal, efetiva e real 
Taxas de Juros podem ser representadas em diferentes unidades de tempo (ao ano, ao mês, 
etc.) e são ditas equivalentes se produzem o mesmo efeito quando aplicadas em um mesmo 
período de tempo. As taxas efetivas podem ser utilizadas diretamente no cálculo de juros 
compostos, bastando observar se o período esta representado na mesma unidade de tempo 
da taxa de juros. Ex: 
 2,66 % a.a 12,47 % a.s 
 3,33% a.m 9 % a.dia 
Ao contrário da taxa efetiva, uma taxa nominal não pode ser empregada diretamente no 
cálculo de juros compostos. Exemplos de taxas nominais: 
 20% a.a capitalizada ao mês 
 28,76% a.s capitalizada mensalmente 
 5% a.t capitalizada ao dia 
Vejam que a forma com que ela é capitalizada define se ela é efetiva ou nominal. Para que 
ela seja efetiva a capitalização deve esta na mesma unidade de tempo que a taxa. Portanto 
quando temos a taxa de 9 % a. dia significa que temos uma taxa de 9 % ao dia capitalizada 
diariamente. Por ser redundante coloca-se somente 9 % a.dia. 
Por exemplo, se você aplicou R$ 6.000,00 à taxa nominal de 60% ao ano com capitalização 
mensal, quanto terá após um ano? Se respondeu sem se atentar para a capitalização da taxa, 
esta enganado pois calculou como se fosse uma taxa efetiva ao ano. Para calcular 
corretamente, primeiro converta para uma taxa efetiva: 
 taxa de juros: 60% a.a com capitalização mensal =60%/12= 5,00% 
 Taxa Efetiva: 5,00% ao mês capitalizada mensalmente 
 Ai basta aplicar na fórmula normal. 
 
Já a taxa nominal de juros incorpora as expectativas de inflação. Não confundir: taxa nominal 
de juros, que mede o resultado de uma operação em valor corrente, com taxa nominal (linear) 
que indica a capitalização dos juros na forma proporcional. A taxa nominal de juros tem uma 
parte devida à inflação, e outra definida como legítima, real, que reflete os juros reais pagos 
ou recebidos. Em matemática financeira, o termo real, indica valores livre de efeitos 
inflacionários. Fórmula de apuração da taxa real: 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝑟) = 
1+𝑡𝑎𝑥𝑎𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 (𝑖)
1+𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜 (𝐼)
− 1 (15) 
A partir da expressão acima pode-se calcular a taxa nominal (i) e a taxa de inflação (I): 
24 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
Um investidor aplicou R$100.000,00 e obteve ao final do período um rendimento 
nominal de 12,8%. A inflação no período foi de 9,2%. Qual o ganho real? 
 
Rendimento nominal = R$12.800,00 (100.000 x 0,128) 
Valor no final do período = R$ 100.000 + R$ 12.800 = R$ 128.800,00 
Valor aplicado corrigido pela inflação = R$109.200 (R$100.000 x 1,092) 
Lucro real em valores monetários = R$ 3.600 (R$112.800 - R$109.200) 
O ganho real foi de R$ 3.600,00. Quanto maior a inflação, menor o retorno real de 
uma aplicação. 
 
 
 
Para estimular seus estudos sobre os conceitos das diferentes taxas dos juros 
compostos, leia o artigo. 
https://www.parmais.com.br/blog/o-que-e-taxa-nominal-e-taxa-real-de-juros/ 
2.2 Taxas equivalentes 
 
Duas taxas de juros compostos são equivalentes se forem aplicadas ao mesmo capital, pelo 
mesmo intervalo de tempo e que sejam capazes de produzirem produzem o mesmo juro ou 
montante.No regime de juros composto, as taxas de juros não são proporcionais, ou seja, 
uma taxa de 24% ao ano é não é equivalente a 2% ao mês. Eles seguem as regras de juros 
com tempo exponencial, portanto sua formulação e formatação devem ser diferentes. Para 
avaliar uma taxa que você deseja, baseada em uma taxa que você conhece, basta aplicar a 
fórmula: 
 
𝑖𝑞 = (1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1 (16) 
 
Onde: 
iq = taxa para o prazo que eu quero 
it = taxa para o prazo que eu tenho 
q = prazo que eu quero 
t = prazo que eu tenho 
 
 
 
 
Encontrar a taxa anual equivalente a 2% ao mês: 
 
ia = (1 + im)12 – 1 = (1,02)12 - 1 = 1,2682 - 1 = 0,2682 ou 26,82% 
 
25 
 
 
Matemática Financeira 
Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano: 
 
im = (1 + ia)1/12 –1 = (1,60103)1/2 –1 = 1,04 - 1 ou 4% ao mês 
 
Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia: 
 
ia = (1 + id)360 - 1 = (1,0019442)360 - 1 = 2,0122 – 1 = 1,0122 ou 101,22% ao ano 
 
Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos: 
 
it = (1 + i2a)1/8 - 1 = (1,47746 )1/8 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05 = 5% ao trimestre 
 
Determinar a taxa anual equivalente a 1% á quinzena: 
 
ia = (1 + iq)24 - 1 = (1,01)24 - 1 = 1,2697 - 1 = 0,2697 = 26,97% ao ano 
 
 
 
 
Para fixar os conhecimentos sobre todos os contextos de diferenciações de taxas, 
leia o artigo a seguir. 
 
http://www.scielo.br/pdf/rae/v21n1/v21n1a08.pdf 
 
2.3 Desconto composto 
O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto 
sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos 
em períodos anteriores. (ASSAF NETO, 2001) 
Ao realizarmos uma aplicação, nosso dinheiro é submetido a um fator de capitalização, que 
depende do valor da taxa de juros e do tempo da aplicação. Já nas situações de desconto, 
utiliza-se um fator de descapitalização, conhecido pela expressão (1 + i)–t. Para a notação de 
taxa de desconto, podemos considerar que i=d. Para determinarmos o valor atual de um título 
descontado a juros compostos utilizamos a seguinte expressão matemática: 
C = M * (1 + d)–t (17) 
Onde temos: 
C = valor atual (capital), M = valor nominal (montante), d = taxa de desconto, t = tempo 
(antecipação do desconto) 
 
 
Veja exemplos de aplicação na leitura propiciadano referido site a seguir: 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/desconto-composto-racional.htm 
26 
 
 
Matemática Financeira 
2.4 Equivalência de Capitais e capitalização composta. 
A equivalência de capitais a juros compostos segue o mesmo princípio da equivalência de 
capital a juros simples. A diferença fundamental está na manipulação do tempo que acontece 
de forma exponencial. Portanto basta alterar as equações 12 e 13 para: 
 
Quando a data de equivalência for no futuro, devemos capitalizar os títulos, conforme a 
fórmula abaixo: 
M = C / (1 - i)t (18) 
Já quando a data de equivalência for no passado, devemos descapitalizar os títulos, conforme 
abaixo: 
C = M (1 - i)t (19) 
Onde M = valor nominal; C = valor atual; i = taxa; t = número de períodos que foram 
capitalizados. 
O mesmo pode ser aplicado na capitalização composta, substituindo a fórmula de juros 
simples por juros compostos. 
 
 
 
Leia mais sobre os conceitos de equivalência e capitalização composta em: 
http://www.compuland.com.br/economia/MatematicaFinanceiraAula3.pdf 
 
2.5 Séries de Pagamentos 
Normalmente as pessoas utilizam muito o conceito de séries de pagamento para efetuarem 
as transações dentro do mercado financeiro. Essas séries definem valores específicos para 
uma formatação e organização de valores que visam compensar um investimento inicial. 
Nesse caso podemos dizer que as prestações contraídas para realizar os pagamentos de um 
produto são séries de pagamentos que existem para pagar o valor do produto. 
Em geral existem séries de valores uniformes e séries de valores diferenciados. Eles são 
representados no diagrama de fluxo de caixa e facilitam a visão contextual dentro do ambiente 
de uma compensação financeira. No contexto de série de pagamentos uma variável que é 
apresentada e calculada é a prestação (PMT). 
 O modelo matemático para as séries de pagamentos, capaz de calcular uma prestação no 
período é dada pela equação a seguir: 
27 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
 (20) 
Onde, 
PMT → é o valor das parcelas ou prestações a serem pagas 
PV → é o valor financiado, que pode ser o capital. 
i → é a taxa de juros 
n → é o tempo 
 
 
Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 será quitado em 24 meses. Determine o 
valor das prestações sabendo que a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês. 
 
Solução: 
Temos que 
 
PMT = ? 
PV= 15000 
i = 2% a.m. = 0,02 
n = 24 meses 
 
Substituindo os dados na fórmula, obtemos: 
 
 
 
 
 
28 
 
 
Matemática Financeira 
3.0 Sistemas de Amortização 
Amortização é um processo de finalização de uma dívida através de pagamentos periódicos, 
determinados conforme o tempo e a taxa de juros vigente para a transação financeira, que 
são realizados em função de um planejamento, permitindo que cada prestação corresponda 
à soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o 
reembolso de ambos, sendo que os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor. Esse 
contexto é muito abordado ao comprarmos bens de grande valor financeiro como casas e 
carros. Sobre as modalidades existentes de amortização, podemos destacar: 
 Sistema de Pagamento único: Um único pagamento no final. 
 Sistema de Pagamentos variáveis: Vários pagamentos diferenciados. 
 Sistema Americano: Pagamento no final com juros calculados período a período. 
 Sistema de Amortização Misto (SAM): Os pagamentos são as médias dos sistemas 
SAC e Price. 
 Sistema Alemão: Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o 
primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação. 
Cada sistema tem suas vantagens e desvantagens dentro do contexto financeiro. Antes de 
efetuar uma grande dívida, veja quais as formas estão vigentes para a amortização de sua 
dívida. 
3.1 Sistema Francês de amortização (PRICE) 
O sistema PRICE é um sistema de amortização que o valor das prestações é unico durante 
todo o período do empréstimo ou financiamento. Para o devedor é uma garantia de valores 
que ele terá que pagar todos os meses, porém os juros estão presentes em maior quantidade 
nas primeiras parcelas. Ao antecipar pagamentos você deve pagar as primeiras prestações 
para obter maiores descontos. Como estamos falando de um conjunto de prestações de 
valores iguais, podemos afirmar que o sistema PRICE trata-se de um sistema de séries com 
valores de prestações iguais. Portanto para calcular os valores da tabela PRICE, basta utilizar 
a equação 20 nos elementos coletados. 
Veja a seguir o exemplo de amortização e de parcelas no sistemas PRICE. 
 
 
Figura 3- Exemplo de valores de amortização de um empréstimo no valor de R$ 30.000,00 
29 
 
 
Matemática Financeira 
Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/tabela-price.htm 
3.2 Sistema de amortização Constante (SAC) 
 
Já na amortização contante, chamada de SAC é o valor da amortização que não se altera, 
permitindo que o valor da prestação sempre caia conforme os pagamentos vão sendo 
efetuados. Esse regime é muito utilizado em financiamentos atuais de imóveis. Na figura 4 
está apresentado um exemplo desse tipo de amortização. 
 
 
Figura 4- Exemplo de amortização SAC para um empréstimo de R$ 120.000,00 
Fonte: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/sac-sistema-amortizacoes-constantes.htm 
 
 
 
 
Para fixar seus conhecimentos sobre o SAC, veja o texto explicativo com exemplos 
pertinentes a esse tipo de amortização. 
 
http://www.clubedospoupadores.com/financiamentos/tabela-sac-sistema-de-
amortizacao-constante.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
Matemática Financeira 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1991 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
AYRES Jr., FRANK, Matemática Financeira. Tradução de Gestão Q. Pinto de Moura. São 
Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1976. 
FARIA. Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 3ª Edição. São Paulo, 
McGraw-Hill do Brasil,1983. 
HAZZAN, Samuel e POPMPEO, José Nicolau, Matemática Financeira. 2ª Ed. São Paulo, 
Atual, 1987. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ASSAF NETO, ALEXANDRE. Matemática Financeira e suas Aplicações. 6. Ed. São Paulo: 
Atlas, 2001. 
 
PARENTE, EDUARDO AFONSO DE MEDEIROS, Matemática Comercial e Financeira. Ed 
reform. São Paulo: FTD, 1996.