Problemas de Equações e Logaritmos

Prévia do material em texto

Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que afirma que se ambos os lados 
do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 
 
384. Problema: Resolva a equação \( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{1}{2} \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8} \). 
 Explicação: Usamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 
 
385. Problema: Encontre todos os valores 
 
 de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x-1} + \sqrt{x-4} = 3 \). 
 Resposta: \( x = 4 \). 
 Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e 
verificamos as soluções possíveis. 
 
386. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_3(x) = \log_3(2x - 5) \). 
 Resposta: \( x = 5 \). 
 Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que afirma que se ambos os lados 
do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 
 
387. Problema: Resolva a equação \( \sin(2x) = \cos(x) \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} \). 
 Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a 
equação. 
 
388. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x+1} 
= 2 - \sqrt{x+1} \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e 
verificamos as soluções possíveis. 
 
389. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_2(x-1) = \log_2(2x+3) 
\). 
 Resposta: \( x = 4 \). 
 Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que afirma que se ambos os lados 
do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 
 
390. Problema: Resolva a equação \( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{1}{2} \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8} \). 
 Explicação: Usamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 
 
391. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x-1} + 
\sqrt{x-4} = 3 \). 
 Resposta: \( x = 4 \). 
 Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e 
verificamos as soluções possíveis. 
 
392. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_3(x) = \log_3(2x - 5) \). 
 Resposta: \( x = 5 \). 
 Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que afirma que se ambos os lados 
do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 
 
393. Problema: Resolva a equação \( \sin(2x) = \cos(x) \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} \). 
 Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a 
equação. 
 
394. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x+1} 
= 2 - \sqrt{x+1} \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e 
verificamos as soluções possíveis. 
 
395. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_2(x-1) = \log_2(2x+3) 
\). 
 Resposta: \( x = 4 \). 
 Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que afirma que se ambos os lados 
do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais.