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Explicação: Usamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 409. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x-1} + \sqrt{x-4} = 3 \). Resposta: \( x = 4 \). Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e verificamos as soluções possíveis. 410. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_3(x) = \log_3(2x - 5) \). Resposta: \( x = 5 \). Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que afirma que se ambos os lados do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 411. Problema: Resolva a equação \( \sin(2x) = \cos(x) \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \) or \( x = \frac{5\pi}{6} \). Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 412. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x+1} = 2 - \sqrt{x+1} \). Resposta: \( x = 1 \). Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e verificamos as soluções possíveis. 413. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_2(x-1) = \log_2(2x+3) \). Resposta: \( x = 4 \). Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que afirma que se ambos os lados do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 414. Problema: Resolva a equação \( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{1}{2} \). Resposta: \( x = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8} \). Explicação: Usamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 415. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x-1} + \sqrt{x-4} = 3 \). Resposta: \( x = 4 \). Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e verificamos as soluções possíveis. 416. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_3(x) = \log_3(2x - 5) \). Resposta: \( x = 5 \). Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que afirma que se ambos os lados do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 417. Problema: Resolva a equação \( \sin(2x) = \cos(x) \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \) or \( x = \frac{5\pi}{6} \). Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 418. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x+1} = 2 - \sqrt{x+1} \). Resposta: \( x = 1 \). Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e verificamos as soluções possíveis. 419. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_2(x-1) = \log_2(2x+3) \). Resposta: \( x = 4 \). Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que afirma que se ambos os lados do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 420. Problema: Resolva a equação \( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{1}{2} \). Resposta: \( x = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8} \). Explicação: Usamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. Claro! Aqui estão 100 problemas desafiadores de trigonometria com suas respostas e explicações: