Prévia do material em texto

- **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar a expressão 
dada. 
 
72. **Problema:** Se \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3 \) e \( x+y = 1 \), qual é o valor de \( xy \)? 
 - **Resposta:** O valor de \( xy \) é \( -\frac{2}{3} \). 
 - **Explicação:** Resolva o sistema de equações para encontrar \( x \) e \( y \), depois 
calcule \( xy \). 
 
73. **Problema:** Qual é o valor de \( \cos 18^\circ \cdot \cos 54^\circ \)? 
 - **Resposta:** O valor é \( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \). 
 - **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar o produto dos 
cossenos. 
 
74. **Problema:** Encontre o número de inteiros \( n \) para os quais \( n^3 + 3n^2 + n + 2 
\) é primo. 
 - **Resposta:** Existem 4 valores de \( n \) para os quais a expressão é primo: \( n = -3, 0, 
1, \) e \( 2 \). 
 - **Explicação:** Teste os valores de \( n \) para ver quais satisfazem a condição de ser 
primo. 
 
75. **Problema:** Se \( \sin x = 2\cos^2 x \), qual é o valor de \( \cos x \)? 
 - **Resposta:** O valor de \( \cos x \) é \( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \). 
 - **Explicação:** Resolva a equação dada para \( \sin x \) e \( \cos x \) e encontre \( \cos 
x \). 
 
76. **Problema:** Encontre o maior valor de \( x \) para o qual \( \sqrt{5 + 2\sqrt{5 + 
2\sqrt{x}}} \) é um número inteiro. 
 - **Resposta:** O maior valor de \( x \) é 9. 
 - **Explicação:** Resolva a equação \( \sqrt{5 + 2\sqrt{5 + 2\sqrt{x}}} = n \) para \( n \) 
inteiro e encontre \( x \). 
 
77. **Problema:** Determine o valor de \( \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ \). 
 - **Resposta:** O valor é \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \). 
 - **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar o produto dos 
senos. 
 
78. **Problema:** Qual é o menor número inteiro positivo \( n \) para o qual a soma dos 
algarismos de \( 7^n \) é 100? 
 - **Resposta:** O menor \( n \) é 31. 
 - **Explicação:** Encontre o menor \( n \) para o qual a soma dos algarismos de \( 7^n \) 
é 100. 
 
79. **Problema:** Determine o valor de \( \tan 12^\circ \cdot \tan 18^\circ \cdot \tan 
24^\circ \). 
 - **Resposta:** O valor é \( \sqrt{3} \). 
 - **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar o produto das 
tangentes. 
 
80. **Problema:** Se \( a + b = 12 \) e \( ab = 32 \), qual é o valor de \( a^3 + b^3 \)? 
 - **Resposta:** O valor é 972. 
 - **Explicação:** Utilize as relações dadas entre \( a \) e \( b \) para encontrar \( a^3 + 
b^3 \). 
 
81. **Problema:** Encontre o maior número inteiro \( n \) para o qual \( n^2 + 17n + 72 \) é 
um número primo. 
 - **Resposta:** O maior \( n \) é 31. 
 - **Explicação:** Teste os valores de \( n \) para ver quais satisfazem a condição de ser 
primo. 
 
82. **Problema:** Se \( x + \frac{1}{x} = 5 \), qual é o valor de \( x^3 + \frac{1}{x^3} \)? 
 - **Resposta:** O valor é 125. 
 - **Explicação:** Utilize a relação dada para encontrar \( x^3 + \frac{1}{x^3} \). 
 
83. **Problema:** Qual é o maior valor de \( x \) para o qual \( \sqrt{11 + 6\sqrt{x}} \) é um 
número inteiro? 
 - **Resposta:** O maior valor de \( x \) é 25. 
 - **Explicação:** Resolva a equação \( \sqrt{11 + 6\sqrt{x}} = n \) para \( n \) inteiro e 
encontre \( x \).