Prévia do material em texto

23. **Problema:** Qual é o maior número inteiro \( n \) para o qual \( n^2 + 20n \) é um 
número primo? 
 - **Resposta:** O maior \( n \) é 79. 
 - **Explicação:** Teste os valores de \( n \) para ver quais satisfazem a condição de ser 
primo. 
 
24. **Problema:** Se \( a 
 
 + b = 6 \) e \( ab = 8 \), qual é o valor de \( a^3 + b^3 \)? 
 - **Resposta:** O valor é 54. 
 - **Explicação:** Utilize as relações dadas entre \( a \) e \( b \) para encontrar \( a^3 + 
b^3 \). 
 
25. **Problema:** Qual é o menor número inteiro positivo \( n \) para o qual a soma dos 
algarismos de \( 2^n \) é 100? 
 - **Resposta:** O menor \( n \) é 317. 
 - **Explicação:** Encontre o menor \( n \) para o qual a soma dos algarismos de \( 2^n \) 
é 100. 
 
26. **Problema:** Determine o valor de \( \tan 15^\circ \cdot \tan 75^\circ \). 
 - **Resposta:** O valor é \( 2 - \sqrt{3} \). 
 - **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar o produto das 
tangentes. 
 
27. **Problema:** Qual é o número de inteiros \( n \) para os quais \( n^4 - 10n^2 + 9 \) é 
primo? 
 - **Resposta:** Existem 3 valores de \( n \) para os quais a expressão é primo: \( n = 1, 3, 
\) e \( 4 \). 
 - **Explicação:** Teste os valores de \( n \) para ver quais satisfazem a condição de ser 
primo. 
 
28. **Problema:** Encontre o número de quadrados perfeitos entre 1 e 2024. 
 - **Resposta:** Existem 44 quadrados perfeitos entre 1 e 2024. 
 - **Explicação:** Determine quantos números inteiros \( n \) satisfazem \( 1 \leq n^2 \leq 
2024 \). 
 
29. **Problema:** Qual é o maior número inteiro positivo \( n \) para o qual \( n! \) termina 
em exatamente 25 zeros? 
 - **Resposta:** O maior \( n \) é 100. 
 - **Explicação:** Determine quantos fatores de 5 estão presentes na decomposição de 
\( n! \) em seus fatores primos. 
 
30. **Problema:** Determine o valor de \( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + 
\frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{199 \cdot 201} \). 
 - **Resposta:** O valor é \( \frac{100}{201} \). 
 - **Explicação:** Simplifique a série telescópica para obter a resposta. 
 
31. **Problema:** Se \( \frac{a}{b} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4 + \ldots}}} \), qual 
é o valor de \( \frac{a+b}{\gcd(a,b)} \)? 
 - **Resposta:** O valor é 5. 
 - **Explicação:** Resolva a expressão para \( \frac{a}{b} \) e determine \( 
\frac{a+b}{\gcd(a,b)} \). 
 
32. **Problema:** Qual é o valor de \( \sin^2 10^\circ + \sin^2 50^\circ + \sin^2 70^\circ 
\)? 
 - **Resposta:** O valor é \( \frac{9}{4} \). 
 - **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar a soma dos 
quadrados dos senos. 
 
33. **Problema:** Se \( \sin x + \cos x = \frac{4}{5} \), qual é o valor de \( \sin 2x \)? 
 - **Resposta:** O valor de \( \sin 2x \) é \( \frac{24}{25} \). 
 - **Explicação:** Utilize as fórmulas de seno e cosseno duplo para encontrar \( \sin 2x 
\). 
 
34. **Problema:** Encontre o maior valor de \( x \) para o qual \( x^3 + 4x^2 + 6x + 7 \) é 
divisível por \( x + 3 \). 
 - **Resposta:** O maior valor de \( x \) é \( -3 \). 
 - **Explicação:** Use o Teorema do Resto para determinar o valor de \( x \).