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- **Resposta:** O valor de \( \sin 2x \) é \( \frac{5}{13} \). 
 - **Explicação:** Utilize as fórmulas de tangente e cotangente para encontrar \( \sin 2x 
\). 
 
60. **Problema:** Determine o valor de \( \tan 18^\circ \cdot \tan 54^\circ \). 
 - **Resposta:** O valor é \( \sqrt{5} - 2 \). 
 - **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar o produto das 
tangentes. 
 
61. **Problema:** Se \( \sqrt{a+1} - \sqrt{a-1} = 2 \), qual é o valor de \( a \)? 
 - **Resposta:** O valor de \( a \) é 10. 
 - **Explicação:** Resolva a equação para \( \sqrt{a+1} \) e \( \sqrt{a-1} \) e encontre \( a 
\). 
 
62. **Problema:** Qual é o valor de \( \cos^2 10^\circ + \cos^2 50^\circ + \cos^2 70^\circ 
\)? 
 - **Resposta:** O valor é \( \frac{7}{4} \). 
 - **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar a soma dos 
quadrados dos cossenos. 
 
63. **Problema:** Se \( x + \frac{1}{x} = 4 \), qual é o valor de \( x^3 + \frac{1}{x^3} \)? 
 - **Resposta:** O valor é 64. 
 - **Explicação:** Utilize a relação dada para encontrar \( x^3 + \frac{1}{x^3} \). 
 
64. **Problema:** Encontre o maior valor de \( x \) para o qual \( \sqrt{5 + 2\sqrt{4x - 3x^2}} 
\) é um número inteiro. 
 - **Resposta:** O maior valor de \( x \) é 2. 
 - **Explicação:** Resolva a equação \( \sqrt{5 + 2\sqrt{4x - 3x^2}} = n \) para \( n \) inteiro 
e encontre \( x \). 
 
65. **Problema:** Qual é a soma de todos os valores inteiros de \( x \) para os quais \( |x^2 
- 3x - 10| \leq 6 \)? 
 - **Resposta:** A soma é 5. 
 - **Explicação:** Resolva a desigualdade \( -6 \leq x^2 - 3x - 10 \leq 6 \) para encontrar 
os valores de \( x \). 
 
66. **Problema:** Encontre o maior valor de \( x \) para o qual \( \sqrt{5 + 2\sqrt{x}} \) é um 
número inteiro. 
 - **Resposta:** O maior valor de \( x \) é 9. 
 - **Explicação:** Resolva a equação \( \sqrt{5 + 2\sqrt{x}} = n \) para \( n \) inteiro e 
encontre \( x \). 
 
67. **Problema:** Determine o menor número inteiro positivo \( n \) para o qual a soma 
dos algarismos de \( 8^n \) é 100. 
 - **Resposta:** O menor \( n \) é 26. 
 - **Explicação:** Encontre o menor \( n \) para o qual a soma dos algarism 
 
os de \( 8^n \) é 100. 
 
68. **Problema:** Se \( x = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{3}) \), qual é o valor de \( x^2 - 2x + 1 \)? 
 - **Resposta:** O valor é 3. 
 - **Explicação:** Substitua o valor de \( x \) na expressão dada e simplifique. 
 
69. **Problema:** Qual é o maior número inteiro \( n \) para o qual \( n^2 + 3n + 1 \) é um 
número primo? 
 - **Resposta:** O maior \( n \) é 11. 
 - **Explicação:** Teste os valores de \( n \) para ver quais satisfazem a condição de ser 
primo. 
 
70. **Problema:** Se \( \sqrt{3x + 2} - \sqrt{x + 1} = 1 \), qual é o valor de \( x \)? 
 - **Resposta:** O valor de \( x \) é 1. 
 - **Explicação:** Resolva a equação para \( \sqrt{3x + 2} \) e \( \sqrt{x + 1} \) e encontre \( 
x \). 
 
71. **Problema:** Determine o valor de \( \frac{\sin 2^\circ \cos 4^\circ}{\sin 68^\circ \cos 
70^\circ} \). 
 - **Resposta:** O valor é 1.