Interpolação por Spline

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1/12/2008
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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA
NCT-NÚCLEO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DENFI-DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA E FISÍCA
DOCENTE: PROF. º Dr. Carlos Tenório
DISCIPLINA : CÁLCULO NUMÉRICO
ALMIR MARCELO OLIVEIRA VIANA
SÉRGIO ROBERTO JOSINO DE ALMEIDA
INTERPOLAÇÃO POR 
SPLINESPLINE
INTERPOLAÇÃO SPLINE
A interpolação é um processo constantemente
presente nos trabalhos de computação gráfica, uma
b i l l i é i dboa interpolação resolve os critérios de cor e
aparência dos objetos.
Antigamente, a forma final aproximada ou completa
de uma curva em um projeto, como o casco de um
navio ou o perfil da fuselagem de um avião, podia ser
obtida através de um processo chamado
INTERPOLAÇÃO SPLINE
“lofting”(soteamento), que consistia na utilização de uma
barra longa e estreita fabricada com um material
resistente a esforços transversais e longitudinais, como
madeira ou plástico. Esta barra era modelada no formato
de uma curva desejada aplicando-se tensões ao longo
da barra com pesos e suportes de condução
denominados “ducks”(patos).
INTERPOLAÇÃO SPLINE
A origem do nome spline vem de uma régua elástica,
usada em desenhos de engenharia, que pode ser
curvada de forma a passar por um dado conjunto de
t ( ) t d li S b t
INTERPOLAÇÃO SPLINE
pontos (xi,yi), que tem o nome de spline. Sob certas
hipóteses a curva definida pela régua pode ser descrita
aproximadamente como sendo uma função por partes,
cada qual um polinômio cúbico, de tal forma que ela e
suas duas primeiras derivadas são contínuas sempre. A
terceira derivada, entretanto, pode ter descontinuidades
nos pontos xi. Tal função é uma spline cúbica
interpolante com nós nos pontos x i,
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INTERPOLAÇÃO SPLINE
Temos uma f(x) tabelada em (n-1) pontos
dependendo do método empregado para
solucionar o problema. A alternativap
então é interpolar a f(x) em pequenos
grupos de poucos pontos, obtendo
polinômios com graus menores mantendo
assim a continuidade da função de
aproximação quanto de suas derivadas.
INTERPOLAÇÃO SPLINE
Vemos que a função S1(x) é contínua, mas não é derivável em todo
o intervalo (x0, x4), uma vez que S´ 1(x) não existe para x = xi,
1 ≤ i ≤ 3.
INTERPOLAÇÃO SPLINE
Optando para cada 3 pontos: xi, xi+1, xi+2,
passa um polinômio de grau 2 teremos
garantia de continuidade da função que irá
aproximar f(x).
INTERPOLAÇÃO SPLINE
No caso da função S1(X), foi feita uma
aproximação da função tabelada nos
subintervalos [x i, x i+1], por um
polinômio de grau p .
INTERPOLAÇÃO SPLINE
Definindo então: 
Considere a função f(x) tabelada nos pontos x0 < x1 < ... < xn.
Uma função Sp(x) é denominada spline de grau p com nós nos
pontos x i, i = 0, 1, ..., n, se satisfaz as seguintes condições:
a) em cada subintervalo [xi, xi+1], i = 0, 1, ..., (n – 1), Sp(x) é um
ô
[ , ], , , , ( ), ( )
polinômio de grau p: sp(x).
b) Sp(x) é contínua e tem derivada contínua até ordem (p – 1) em
[a, b].
Se, além disto, Sp(x) também satisfaz a condição:
c) Sp(xi) = f(xi), i = 0, 1, ..., n, então será denominada spline
interpolante.
TIPOS DE INTERPOLAÇÃO 
POR SPLINE
¾SPLINE LINEAR
Á¾SPLINE QUADRÁTICA
¾SPLINE CÚBICA
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SPLINE LINEAR
A função linear interpolante de f(x), S1(x) de
x0, x1, ..., x n , em cada subintervalo [xi–1, xi],
i = 1, 2, ..., n é:
SPLINE LINEAR
Verificação: 
a) S1(x) é polinômio de grau 1 em cada subintervalo [xi–1,xi], 
por definição; 
b) S1(x) é contínua em (xi–1, xi), por definição, e, nos nós xi, 
realmente S1 está bem definida pois:realmente S1 está bem definida, pois: 
si(xi) = si+1(xi) = f(xi) → S1(x) é contínua em [a, b] e, portanto, 
S1(x) é spline linear; 
c) S1(xi) = si(xi) = f(xi) Þ S1(x) é spline linear interpolante de 
f(x) nos nós x 0, x1, ..., xn. 
SPLINE LINEAR
Exemplo 1
Achar a função spline linear que interpola a função
tabelada:
SPLINE LINEAR
SPLINE LINEAR SPLINE LINEAR
Para s2(x) então:
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SPLINE LINEAR
Finalizando então com s3(x) temos:
SPLINE CÚBICA 
A spline linear apresenta a desvantagem de ter
derivada primeira descontínua nos nós. Por esta
razão, as splines cúbicas são mais usadas.
Uma spline cúbica S3(x) é uma função polinomialUma spline cúbica, S3(x), é uma função polinomial
por partes, contínua, onde cada parte, sk(x), é um
polinômio de grau 3 no intervalo [x k–1, xk], k = 1,
2, ..., n. S3(x) tem a primeira e segunda derivadas
contínuas, o que faz com que a curva S3(x) não
tenha picos e nem troque abruptamente de
curvatura nos nós.
SPLINE CÚBICA
Reescrevendo a definição:
Uma spline cúbica, S3(x) , é uma função
polinomial por partes, contínua, onde cada
parte ( ) é um polinômio de grau 3 noparte, sk(x), é um polinômio de grau 3 no
intervalo [x k–1, xk], k = 1, 2, ..., n.
Para que isso seja verdade temos q
satisfazer 5 condições que seguem abaixo:
SPLINE CÚBICA
i) S3(x) = sk(x) para x Є [xk–1, xk], k = 1, ..., n
ii) S3(x i) = f(xi), i = 0, 1, ..., n
iii)sk(xk) = sk+1(xk), k = 1, 2, ..., (n – 1)
iv)s´k(xk) = s´k+1(xk), k = 1, 2, ..., (n – 1) 
v) s´´k(xk) = s´´k+1 (xk), k = 1, 2, ..., (n – 1)
Simplificando a notação temos: 
s k(x) = a k(x –xk)³ + bk(x – xk) ²+ c k(x – xk) + dk, k =1, 2,..., n. 
Assim teremos que encontrar 4 coeficientes para cada valor de k
num total de 4n coeficientes: 
a1, b1, c1, d1, a2, b2, ...,an, bn, cn, dn.
Com as seguintes condições para S3(x) interpolar a f(x) em x0 xn:Com as seguintes condições para S3(x) interpolar a f(x) em x0....,xn:
(n + 1) nos nós;
(n – 1) para continuidade nos nós;
(n – 1) para S’3(x) contínua [x0, xn];
(n – 1) para S’’3(x) contínua [x0, xn] sendo assim 4n -2 condições. 
Portanto temos duas condições em aberto que vão depender das 
informações de cada problema.
Como resolver uma spline Cúbica
Conforme a definição de s k(x) = a k(x –xk)³ + bk(x – xk) ²+ ck(x – xk)
+ dk, k =1, 2,..., n.
Para impor a condição (ii) montamos, para k = 1, ..., n, as equações: 
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A condição (iii) é satisfeita através das (n – 1) equações:
para k = 1, ..., (n – 1),sk+1(xk) = f(xk), ou seja:
Para impor as condições (iv) e (v), precisaremos das derivadas das sk(x): 
s k(x) = a k(x –xk)³ + bk(x – xk) ²+ ck(x – xk) + dk, k =1, 2,..., n.
Como vemos que s’’k (x)= 2bk. Então cada coeficiente de bk pode ser escrito em 
função de s’’k (x):
Analogamente s’’k(xk – 1) = - 6akhk + 2bk.
impondo agora a condição (v), (s’’k (xk – 1) = s’’k - 1 (xk – 1), temos que: 
Observa-se no caso de k = 1, intruduz-se mais uma variável 
arbitrária, s’’0(x0)
Uma vez que dk = f(xk) e já encontramos ak e bk vamos utilizar as 
equações (2) e (3) para encontrar os termos de ck.também em 
função das suas derivadas segundas, temos:
Usando mais notações
s’’k(xk) = gk e f(xk) = yk teremos:
Assim para k = 1, 2,..., n.,podemos calcular todos os 
coeficientes de sk(x) em função de gj = s’’j(xj), j = 0,1,..., n.
Impondo a condição (iv) que ainda não foi utilizada, s’k(xk) = s’k 
+ 1(xk), k = 1, 2,..., (n – 1) temos:
donde
Usando as equações (9), (10) e (11)
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Encontramos:
Agrupando os termos semelhantes com k = 1,...,n – 1,
Encontraremos (13)
Que é um sistema de equações lineares com (n -1) equações (k = 1, ...,(n – 1)) e 
(n + 1) incógnitas: g0, g1, ..., gn e, portanto Ax = b onde x = (g0, g1, ..., gn)transposta 
Para resolvermos este sistema teremos que impor
algumas alternativas, daí poderemos determinar ak,
bk, ck e dk para cada sk(x)
EXEMPLO 2
Vamos encontrar uma aproximação para f(0.25) por spline cúbica 
natural, interpolante da tabela:
Temos 4 subdivisões do intervalo[0, 2.0], donde n = 4, e portanto temos de 
determinar s1(x), s2(x), s3(x) e s4(x) resolvendo, para 1 ≤ k ≤ 3 (n – 1 = 3). 
hk = h = 0.5, o sistema fica: Como estamos procurando a spline cúbica natural, g0 = g4 = 0, entãotemos:
Substituindo os valores de h e yi, 0 ≤ i ≤ 4, e encontraremos os valores de g1, 
g2 e g3.
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Subistituimos os valores em ak, bk, ck e dk, encontrando assim s1(x), s2(x),
s3(x) e s4(x). Como queremos a aproximação para f(0.25), e f(0.25) ≈
s1(0.25) e s1(x) = a1(x –x1)³ + b1(x – x1) ²+ c1(x – xk) + d1 usando: Daí temos que s1(0.25) é:
Como f(0.25) ≈ s1(0.25) então:
REFERÊNCIAS
Claudio, Dalcídio Morais. Calculo NuméricoComputacional, Teoria e Prática.
2ª ed..São Paulo: Atlas,1994.
Ruggiero, M. A. G. & Lopes, V. L., Cálculo Numérico: aspectos teóricos e
computacionais.
Disponívelp
em<http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/Iniciacao_Cientifica/interpolacao/teoria/
3_Splines.pdf>. Acesso em 20 out. 2008.
Disponível em<http://w3.impa.br/~lvelho/i3d07/demos/claudino/splines.html>.
Acesso em 20 out. 2008.
Disponível em<http://w3.impa.br/~lvelho/i3d07/demos/claudino/sec1.html>.
Acesso em 20 out. 2008.