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2029. **Cálculo Integral** 
 - Problema: Calcule \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 Resposta: Utilização de substituição trigonométrica para resolver a integral. 
 
2030. **Teoria dos Conjuntos** 
 - Problema: Demonstre que o conjunto dos números complexos é um conjunto de 
Hausdorff. 
 Resposta: Utilização da defini 
 
ção de espaços de Hausdorff e propriedades dos números complexos. 
 
2031. **Topologia Geral** 
 - Problema: Explique o conceito de conexidade em um espaço topológico e prove que 
um intervalo em \( \mathbb{R} \) é conexo. 
 Resposta: Definição de conexidade e argumento de continuidade. 
 
2032. **Equações Diferenciais Ordinárias** 
 - Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 3y = e^{-2x} \). 
 Resposta: Encontrar a solução geral utilizando o método do fator integrante. 
 
2033. **Álgebra Linear** 
 - Problema: Seja \( A \) uma matriz \( 2 \times 2 \) com autovalores \( \lambda_1 = 2 \) e \( 
\lambda_2 = -3 \). Determine a forma canônica de Jordan de \( A \). 
 Resposta: Determinação da forma canônica de Jordan utilizando a estrutura de 
autovalores. 
 
2034. **Cálculo Diferencial** 
 - Problema: Encontre os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x, y) = x^2 + 2y^2 - 2x 
+ 2y \). 
 Resposta: Cálculo dos pontos críticos e análise da matriz hessiana. 
 
2035. **Teoria dos Números** 
 - Problema: Prove que a soma de dois quadrados \( a^2 + b^2 \) é um número primo se e 
somente se ambos \( a \) e \( b \) são zero. 
 Resposta: Utilização do Teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados. 
 
2036. **Geometria Euclidiana** 
 - Problema: Mostre que a soma das medidas dos ângulos internos de um octógono é \( 
1080^\circ \). 
 Resposta: Utilização da fórmula geral para a soma dos ângulos internos de um polígono. 
 
2037. **Probabilidade e Estatística** 
 - Problema: Se um dado justo é lançado 6 vezes, qual é a probabilidade de que 
exatamente 3 lançamentos resultem em um número par? 
 Resposta: Cálculo utilizando a distribuição binomial. 
 
2038. **Análise Real** 
 - Problema: Prove que a função \( f(x) = \frac{1}{x} \) é uniformemente contínua no 
intervalo \( (0, \infty) \). 
 Resposta: Utilização da definição de uniforme continuidade e limites. 
 
2039. **Geometria Projetiva** 
 - Problema: Explique o conceito de transformação projetiva em \( \mathbb{R}^2 \) e dê 
um exemplo de aplicação prática. 
 Resposta: Definição de transformação projetiva e exemplos de aplicações em desenho 
arquitetônico. 
 
2040. **Álgebra Abstrata** 
 - Problema: Seja \( G \) um grupo finito e \( H \) um subgrupo de \( G \). Prove que a 
ordem de \( H \) divide a ordem de \( G \). 
 Resposta: Argumento utilizando teoremas básicos sobre grupos finitos e subgrupos. 
 
2041. **Cálculo Integral** 
 - Problema: Calcule \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^4}} \, dx \). 
 Resposta: Utilização de substituição trigonométrica para resolver a integral.