Problemas de Cálculo Matemático

Prévia do material em texto

**Resposta e Explicação:** O ponto de máximo local é \( \left( \sqrt[3]{\frac{5}{3}}, 
\frac{14}{9} \right) \) e o ponto de mínimo local é \( \left( -\sqrt[3]{\frac{5}{3}}, -\frac{14}{9} 
\right) \). 
 
110. **Problema:** Calcule a área da região limitada pela curva \( y = \cos(x) \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 **Resposta e Explicação:** A área é \( 1 \) unidade quadrada. 
 
111. **Problema:** Encontre a equação da elipse com eixos paralelos aos eixos 
coordenados, centrada em \( (1, 2) \), semi-eixo maior 3 ao longo do eixo \( x \) e semi-eixo 
menor 2 ao longo do eixo \( y \). 
 
 
 **Resposta e Explicação:** A equação é \( \frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{(y - 2)^2}{4} = 1 \). 
 
112. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \ln(\cos(x)) \). 
 **Resposta e Explicação:** A derivada é \( y' = -\tan(x) \). 
 
113. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y \cos(x) \). 
 **Resposta e Explicação:** A solução é \( y = Ce^{\sin(x)} \), onde \( C \) é uma 
constante. 
 
114. **Problema:** Determine os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^2 - 2x 
+ 3 \) tem um ponto de máximo em \( x = 1 \). 
 **Resposta e Explicação:** Para \( a < 0 \). 
 
115. **Problema:** Resolva a inequação \( \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1} \geq 0 \). 
 **Resposta e Explicação:** A solução é \( x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \). 
 
116. **Problema:** Calcule a integral \( \int \cos(2x) \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** A integral é \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \). 
 
117. **Problema:** Encontre os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 
+ 9x + 2 \). 
 **Resposta e Explicação:** O ponto de máximo é \( (2, 10) \) e o ponto de mínimo é \( (3, 
2) \). 
 
118. **Problema:** Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = 
\ln(x) \) entre \( x = 1 \) e \( x = 2 \). 
 **Resposta e Explicação:** A área é aproximadamente \( 1.718 \) unidades quadradas. 
 
119. **Problema:** Encontre a equação da tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto onde 
\( x = 4 \). 
 **Resposta e Explicação:** A equação da tangente é \( y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \). 
 
120. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 **Resposta e Explicação:** O limite é \( 3 \). 
 
121. **Problema:** Determine o domínio da função \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3} \). 
 **Resposta e Explicação:** O domínio é \( x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \). 
 
122. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2xy + x^2 \). 
 **Resposta e Explicação:** A solução é \( y = Ce^{x^2} - x - 1 \), onde \( C \) é uma 
constante. 
 
123. **Problema:** Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = 
\frac{1}{x} - \ln(x) \) para \( x > 0 \). 
 **Resposta e Explicação:** O ponto de máximo é \( \left( e, \frac{1}{e} - 1 \right) \) e não 
há mínimo. 
 
124. **Problema:** Calcule a área da região limitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \pi \). 
 **Resposta e Explicação:** A área é \( 2 \) unidades quadradas. 
 
125. **Problema:** Determine a equação da circunferência com centro em \( (3, -2) \) e 
raio 4. 
 **Resposta e Explicação:** A equação é \( (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \).