Problemas de Cálculo Matemático

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65. Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 - **Resposta:** 1 
 - **Explicação:** Limite fundamental envolvendo a função exponencial. 
 
66. Encontre a solução para \( 
 
 \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \) com \( y(1) = 1 \). 
 - **Resposta:** \( y^2 = x^2 \) 
 - **Explicação:** Solução de uma equação diferencial separável. 
 
67. Calcule \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 - x^2} + 
\frac{x^2}{2} \sin^{-1}(x) \right) + C \) 
 - **Explicação:** Integral indefinida envolvendo a substituição trigonométrica. 
 
68. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x) - x}{x^3} \)? 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x) - x}{x^3} = \frac{1}{3} \) 
 - **Explicação:** Limite fundamental da trigonometria. 
 
69. Determine \( \frac{d}{dx} (\ln(2x)) \). 
 - **Resposta:** \( \frac{d}{dx} (\ln(2x)) = \frac{1}{x} \) 
 - **Explicação:** Derivada do logaritmo natural composto. 
 
70. Encontre o valor de \( \int_{0}^{1} e^{-x^2} \, dx \). 
 - **Resposta:** Não tem solução em termos de funções elementares. 
 - **Explicação:** Integral indefinida da função exponencial. 
 
71. Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \). 
 - **Resposta:** 1 
 - **Explicação:** Limite fundamental envolvendo a raiz quadrada. 
 
72. Qual é o valor de \( \binom{9}{6} \)? 
 - **Resposta:** 84 
 - **Explicação:** Coeficiente binomial. 
 
73. Determine \( \frac{d}{dx} (x^4 \ln(x)) \). 
 - **Resposta:** \( \frac{d}{dx} (x^4 \ln(x)) = 4x^3 \ln(x) + x^3 \) 
 - **Explicação:** Derivada do produto de uma função polinomial com o logaritmo 
natural. 
 
74. Encontre o valor de \( \sum_{n=0}^{10} (-1)^n \). 
 - **Resposta:** 0 
 - **Explicação:** Soma finita de uma série alternada. 
 
75. Qual é o resultado de \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \)? 
 - **Resposta:** \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \sqrt{1 + x^2} + C \) 
 - **Explicação:** Integral indefinida envolvendo a substituição trigonométrica. 
 
76. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 - **Resposta:** 1 
 - **Explicação:** Limite fundamental envolvendo o logaritmo natural. 
 
77. Determine a solução para \( \frac{dy}{dx} = 2xy \) com \( y(0) = 1 \). 
 - **Resposta:** \( y = e^{x^2} \) 
 - **Explicação:** Solução de uma equação diferencial separável. 
 
78. Encontre o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \sec^2(x) \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int_{0}^{\pi/2} \sec^2(x) \, dx = 1 \) 
 - **Explicação:** Integral definida da função secante ao quadrado. 
 
79. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x \)? 
 - **Resposta:** \( e^2 \)